Triangles (त्रिभुज)

Get “Triangles” chapter’s previous years questions from 2009 to 2020 of JAC board.

Q1. All the squares are – congruent or similar?

{ सभी वर्ग होते है – सर्वांगसम या समरूप?}

year 2020 of 1 marks

Ans. Similar

{समरूप}

Q2. Are all triangles similar – equilateral or isosceles?

{ क्या सभी त्रिभुज समरूप होते है – समबाहु या समद्विबाहु?}

year 2019 of 1 marks

Ans. equilateral

{समबाहु )

Q3. All the circles are – congruent or similar?

{ सभी वृत्त होते है – सर्वांगसम या समरूप?}

year 2018,2013 of 1 marks

Ans. Similar

{समरूप}

Q4. 2 polygons of the same number of sides are similar if their corresponding sides are…

{ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते है| यदि उनकी संगत भुजाएं … हों|}

year 2016 of 1 marks

Ans. Proportional

{आनुपातिक}

Q5. In figure, if DE||BC , then find the value of x

{आकृति में यदि DE||BC है| तो x का मान लिखिए|} Triangles

year 2017 of 1 marks

Ans. From Thales theorem,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow \frac{x}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}$

$\Rightarrow \ x=2.4cm$

{थेल्स प्रमेय से,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow \frac{x}{7.2}=\frac{1.8}{5.4}$

$\Rightarrow \ x=2.4cm$ }

Q6. In the figure , DE||BC. If $\frac{AD}{DB}=\frac{3}{5}$ and AC = 4.8cm, find AE.

{आकृति में DE||BC है| यदि $\frac{AD}{DB}=\frac{3}{5}$ और AC = 4.8cm| तो AE ज्ञात कीजिये|}

Triangles

year 2015 of 1 marks

Ans. From Thales theorem,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{AC-AE}$

$\Rightarrow\frac{3}{5}=\frac{AE}{4.8-AE}$
$\Rightarrow$ 3 × 4.8 - 3AE = 5AE
$\Rightarrow$ 8AE = 14.4
$\Rightarrow$ AE = 1.8cm

{थेल्स प्रमेय से,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{AC-AE}$

$\Rightarrow\frac{3}{5}=\frac{AE}{4.8-AE}$
$\Rightarrow$ 3 × 4.8 - 3AE = 5AE
$\Rightarrow$ 8AE = 14.4
$\Rightarrow$ AE = 1.8cm}

Q7. In the given figure DE||BC. Find x

{नीचे आकृति में DE||BC यदि है, x निकालिये} Triangles

year 2014 of 1 marks

Ans. From Thales theorem,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow\frac{x}{16}=\frac{34}{17}$
$\Rightarrow\ x=32$ cm

{थेल्स प्रमेय से,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow\frac{x}{16}=\frac{34}{17}$
$\Rightarrow\ x=32$ cm}

Q8. In the given figure DE||BC. Find x

{नीचे आकृति में DE||BC यदि है, x निकालिये}

year 2009 of 1 marks

Ans. From Thales theorem,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow\frac{1.5}{3}=\frac{1}{x}$
$\Rightarrow$ x = 2cm

{थेल्स प्रमेय से,

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow\frac{1.5}{3}=\frac{1}{x}$
$\Rightarrow$ x = 2cm}

Q9. Say the pair of triangles in the given figure are similar or not. If yes, state the similarity criterion used by you for answering the question. Also write the pair of similar triangles in the symbolic form

{ बताइए की आकृति में दिए गए त्रिभुजों के युग्म समरूप है या नहीं| यदि है तो उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है| साथ ही समरूप त्रिभुज के जोड़े को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए|} Triangles

year 2011 of 1 marks

Ans. The pair of triangles are not similar.

{त्रिभुजों के युग्म समरूप नहीं है|}

Q10. Say the pair of triangles in the given figure are similar or not. If yes, state the similarity criterion.

{ बताइए की आकृति में दिए गए त्रिभुजों के युग्म समरूप है या नहीं| यदि है तो उस समरूपता कसौटी को लिखिए}

year 2010 of 1 marks

Ans. $\frac{AB}{QR}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ,

$\frac{BC}{RP}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$ and

$\frac{CA}{PQ}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\therefore \: \frac{AB}{QR}=\frac{BC}{RP}=\frac{CA}{PQ}$

Yes, by SSS similarity criterion ∆ABC~∆QRP

{ $\frac{AB}{QR}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ,

$\frac{BC}{RP}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$ और

$\frac{CA}{PQ}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

$\therefore \: \frac{AB}{QR}=\frac{BC}{RP}=\frac{CA}{PQ}$

हाँ , SSS समरूपता कसौटी से ∆ABC~∆QRP}

Q11. Say the pair of triangles in the given figure are similar or not. If yes, state the similarity criterion used by you for answering the question. Also write the pair of similar triangles in the symbolic form

year 2012 of 1 marks

Ans. ∠D=∠Q=70°,

$\frac{ED}{PQ}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$

and $\frac{DF}{QR}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$\therefore \; \frac{ED}{PQ}=\frac{DF}{QR}$

Yes, by SAS similarity criterion ∆EDF~∆PQR

{ ∠D=∠Q=70°,

$\frac{ED}{PQ}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$

and $\frac{DF}{QR}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$\therefore \; \frac{ED}{PQ}=\frac{DF}{QR}$

हाँ , SAS समरूपता कसौटी से ∆EDF~∆PQR}

Q12. ABC is a isosceles triangle right angled at C. Prove That $AB^{2}=2AC^{2}$

{ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है| सिद्ध कीजिए कि $AB^{2}=2AC^{2}$ .}

year 2020,2018,2013,2009 of 2 marks

Ans. Given:- ΔABC is an isosceles right triangle in which ∠C = 90° Triangles

To prove:- $AB^{2}=2AC^{2}$

Proof:- AC=BC and ∠C = 90°

Now, by Phythagoras Theorem
$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$
$\Rightarrow AB^{2}$ $=AC^{2}+AC^{2}$ ( $\because$ AC=BC)
$\Rightarrow AB^{2}$ $=2AC^{2}$

∴ $AB^{2}=2AC^{2}$

{ दिया हुआ है:- ΔABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण C समकोण है|

Triangles

सिद्ध करना है:- $AB^{2}=2AC^{2}$

प्रमाण:- ∠C = 90° तथा AC=BC

अब, पाइथागोरस प्रमेय से
$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$
$\Rightarrow AB^{2}$ $=AC^{2}+AC^{2}$ ( $\because$ AC=BC)
$\Rightarrow AB^{2}$ $=2AC^{2}$

∴ $AB^{2}=2AC^{2}$ }

Q13. ABC is a isosceles triangle with AC=BC. If $AB^{2}=2AC^{2}$ then prove that ABC is a right triangle.

{ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC=BC है| यदि $AB^{2}=2AC^{2}$ है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है}

year 2019,2014 of 2 marks

Ans. Given:- ΔABC is an isosceles triangle in which AC=BC and $AB^{2}=2AC^{2}$ Triangles

To Prove:- ABC is a right angled triangle

Proof:- AC=BC and $AB^{2}=2AC^{2}$

Now, $AB^{2}=2AC^{2}$
$\Rightarrow$ $AB^{2}=AC^{2}+AC^{2}$
$\Rightarrow AB^{2}$ $=AC^{2}+BC^{2}$ [AC=BC, given]

This side satisfied the Pythagoras theorem
∴ ABC is a right angled triangle

{दिया हुआ है:- ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमे AC=BC और $AB^{2}=2AC^{2}$ Triangles सिद्ध करना है:- ABC एक समकोण त्रिभुज है

प्रमाण:- AC=BC और $AB^{2}=2AC^{2}$

अब, $AB^{2}=2AC^{2}$
$\Rightarrow$ $AB^{2}=AC^{2}+AC^{2}$
$\Rightarrow AB^{2}$ $=AC^{2}+BC^{2}$ [AC=BC, दिया हुआ है]

यह पक्ष पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है|
∴ ABC एक समकोण त्रिभुज है जो C पर समकोण है|}

Q14. D is a point on the side BC of a triangle ABC in such a way that ∠ADC=∠BAC. So that $CA^2=CB.CD$ .

{एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC=∠BAC है| सिद्ध कीजिये की $CA^2=CB.CD$ }

year 2017 of 2 marks

Ans.In ΔADC and ΔBAC

∠ADC=∠BAC (given)
∠ACD=∠ACB (common)

$\therefore$ By AA similarity criterion
ΔADC∼ΔBAC
$\Rightarrow \frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}$
$\Rightarrow {CA}^2=CB\times CD$ (prove)

{ΔADC और ΔBAC में

∠ADC=∠BAC (दिया हुआ है)
∠ACD=∠ACB (उभयनिष्ठ कोण)

AA समरूपता कसौटी से,
ΔADC∼ΔBAC
$\Rightarrow \frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CA}$
$\Rightarrow {CA}^2=CB\times CD$ (सिद्ध हो गया) }

Q15. Let ΔABC∼ΔDEF and their areas are $64cm^2$ and $121cm^2$ respectively. If BC=11.2cm, find EF.

{माना लीजिये ΔABC∼ΔDEF हैं और उनके क्षेत्रफल क्रमशः $64cm^2$ और $121cm^2$ हैं| यदि BC=11.2cm है, तो EF ज्ञात कीजिए|}

year 2016, 2012 of 2 marks

Ans. Triangles ΔABC∼ΔDEF

$\because \; \frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle DEF)}=\left ( \frac{BC}{EF}\right )^2$

$\Rightarrow \frac{64}{121}=\left ( \frac{11.2}{EF} \right )^2$

$\Rightarrow \frac{8}{11}= \frac{11.2}{EF}$

$\Rightarrow EF=\frac{11.2\times11}{8}=15.4$

$\therefore$ EF=15.4cm

Q16. If the areas of two similar triangles are equal, prove that they are congruent.

{यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर हों तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं|}

year 2015 of 2 marks

Ans.ΔABC∼ΔDEF
$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(DEF)}=\left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=\left ( \frac{CA}{FD} \right )^2$

Given, ar(ABC)=ar(DEF)
$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(ABC)}=\left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=\left ( \frac{CA}{FD} \right )^2$

$\Rightarrow 1=\left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=\left ( \frac{CA}{FD} \right )^2$

$\Rightarrow \left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=1\: ,\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=1\: ,\: \left ( \frac{CA}{FD} \right )^2=1$

$\Rightarrow \frac{AB}{DE} =1\: ,\frac{BC}{EF}=1\: ,\: \frac{CA}{FD} =1$

$\Rightarrow AB=DE\: ,BC=EF\: ,\: CA=FD$

By SSS congruency criterion,
ΔABC≅ΔDEF

{ΔABC∼ΔDEF
$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(DEF)}=\left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=\left ( \frac{CA}{FD} \right )^2$

दिया हुआ है, ar(ABC)=ar(DEF)
$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(ABC)}=\left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=\left ( \frac{CA}{FD} \right )^2$

$\Rightarrow 1=\left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=\left ( \frac{CA}{FD} \right )^2$

$\Rightarrow \left ( \frac{AB}{DE} \right )^2=1\: ,\left ( \frac{BC}{EF} \right )^2=1\: ,\: \left ( \frac{CA}{FD} \right )^2=1$

$\Rightarrow \frac{AB}{DE} =1\: ,\frac{BC}{EF}=1\: ,\: \frac{CA}{FD} =1$

$\Rightarrow AB=DE\: ,BC=EF\: ,\: CA=FD$

SSS सर्वांगसमता कसौटी से,
ΔABC≅ΔDEF}

Q17. Diagonals of a trapezium ABCD with AB||DC intersect one another at point O. If AB=2CD, find out the ratio of the areas of triangles AOB and COD.

{एक समलंब ABCD जिसमें AB||DC है के विकर्ण परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि AB=2CD हो, तो तिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|}

year 2011 of 2 marks

Ans. Given:- AB=2CD

In ΔAOB and ΔCOD,
AB||DC
$\therefore$ By alternate interior angle
∠BAO=∠DCO
and ∠ABO=∠CDO

$\therefore$ By AA similarity criterion,
ΔAOB∼ΔCOD

$\Rightarrow \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\left ( \frac{AB}{CD} \right )^2$

$\Rightarrow \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\left ( \frac{2CD}{CD} \right )^2\; \; (\because AB=2CD)$

$\Rightarrow \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\left ( \frac{2}{1}\right )^2=\frac{4}1{}$

$\therefore ar(AOB):ar(COD)=4:1$

{दिया हुआ है:- AB=2CD

ΔAOB and ΔCOD में,
AB||DC
$\therefore$ एकांतर आंतरिक कोण से
∠BAO=∠DCO
and ∠ABO=∠CDO

$\therefore$ AA समरूपता कसौटी से,,
ΔAOB∼ΔCOD

$\Rightarrow \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\left ( \frac{AB}{CD} \right )^2$

$\Rightarrow \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\left ( \frac{2CD}{CD} \right )^2\; \; (\because AB=2CD)$

$\Rightarrow \frac{ar(AOB)}{ar(COD)}=\left ( \frac{2}{1}\right )^2=\frac{4}1{}$

$\therefore ar(AOB):ar(COD)=4:1$ }

Q18. ABC and BDE are two equilateral triangles in such a way that D is the midpoint of BC. Find the ratio of the areas of the triangles ABC and BDE.

{ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्यबिंदु है| त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए|}

year 2010 of 2 marks

Ans.
D is the mid point of BC.
$(\therefore 2BD=BC)$

ΔABC and ΔBDE are equilateral triangles
$\therefore$ By AAA similarity criterion,
ΔABC∼ΔBDE

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=\left ( \frac{BC}{BD} \right )^2\;$

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=\left ( \frac{2BD}{BD} \right )^2\; \; (\because 2BD=BC)$

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=\left ( \frac{2}{1}\right )^2=\frac{4}{1}$

$\therefore ar(ABC):ar(BDE)=4:1$

{BC पर D मध्य बिंदु है|
$(\therefore 2BD=BC)$

ΔABC और ΔBDE समबाहु त्रिभुज हैं
$\therefore$ AAA समरूपता कसौटी से,
ΔABC∼ΔBDE

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=\left ( \frac{BC}{BD} \right )^2\;$

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=\left ( \frac{2BD}{BD} \right )^2\; \; (\because 2BD=BC)$

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(BDE)}=\left ( \frac{2}{1}\right )^2=\frac{4}{1}$

$\therefore ar(ABC):ar(BDE)=4:1$ }

Q19. Prove that if a line is drawn parallel to one side of triangle to intersect the other two sides in distinct points, the other two sides are divided in the same ratio.

{सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर अन्य दो भुजाओ को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक रेखा खींची जाए, तो यह अन्य दो भुजाएं एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती है|}

year 2020,2010 of 6 marks

Ans. Let ABC is a triangle in which DE||BC

To prove:- $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

Construction:- Join BE , CD and then draw EL⊥AB, DM⊥AC

Proof:- $\frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{\frac{1}{2}\times AD\times EL}{\frac{1}{2}\times DB \times EL}$

$\Rightarrow$ $\frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{ AD}{DB }$ ...(1)

Again, $\frac{ar(AED)}{ar(ECD)}=\frac{\frac{1}{2}\times AE \times DM}{\frac{1}{2}\times EC \times DM}$

$\Rightarrow$ $\frac{ar(AED)}{ar(ECD)}=\frac{AE}{EC}$ ...(2)

Here, ΔECD and ΔDBE are on the same base DE and between same parallel lines BC and DE.
$\Rightarrow$ ar(ECD) = ar(DBE) ...(3)

Putting this value in equation (2)
$\frac{ar(AED)}{ar(DBE)}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow \frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{AE}{EC}$ [ $\because$ ar(AED = ar(ADE)]

$\Rightarrow \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ $\left [\because \frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{AD}{DB} \right ]$

∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

{माना की ABC एक त्रिभुज है, जिसमे DE||BC

सिद्ध करना है की:- $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

रचना:- EL⊥AB, DM⊥AC , BE और CD को मिला दिया|

प्रमाण:- $\frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{\frac{1}{2}\times AD\times EL}{\frac{1}{2}\times DB \times EL}$

$\Rightarrow$ $\frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{ AD}{DB }$ ...(1)

इसी प्रकार, $\frac{ar(AED)}{ar(ECD)}=\frac{\frac{1}{2}\times AE \times DM}{\frac{1}{2}\times EC \times DM}$

$\Rightarrow$ $\frac{ar(AED)}{ar(ECD)}=\frac{AE}{EC}$ ...(2)

यहाँ, ΔECD और ΔDBE एक ही आधार DE पर और समान समानांतर रेखाओं BC और DE के बीच स्थित हैं।
$\Rightarrow$ ar(ECD) = ar(DBE) ...(3)

मूल्य को समीकरण (2) में रखने पर
$\frac{ar(AED)}{ar(DBE)}=\frac{AE}{EC}$

$\Rightarrow \frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{AE}{EC}$ [ $\because$ ar(AED = ar(ADE)]

$\Rightarrow \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ $\left [\because \frac{ar(ADE)}{ar(DBE)}=\frac{AD}{DB} \right ]$

∴ $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$ }

Q20. Prove that in a right triangle , the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.

{सिद्ध कीजिए कि एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष 2 भूजाओ के वर्गों के योग के बराबर होता है|}

year 2019,2017,2015,2011,2009 of 6 marks

Ans. Let ABC is a triangle in which ∠B = 90° and AC is a hypotenuse Triangles

To prove:- $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$

Construction:- BD⊥AC

Proof:- In right triangle ADB and ABC
∠ADB = ∠ABC = 90°
∠DAB = ∠BAC (common)

From AA similarity criterion ΔADB~ΔABC
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$
$\Rightarrow AB^{2}=AD\times AC$ ...(1)

Again in right triangle CDB and CBA
∠CDB = ∠ABC = 90°
∠BCD = ∠ACB (common)

From AA similarity criterion ΔCDB~ΔCBA
∴ $\frac{DC}{BC}=\frac{BC}{AC}$
$\Rightarrow BC^{2}=DC\times AC$ ...(2)

Equation (1) + equation (2)
$AB^{2}+BC^{2}=AD\times AC+DC\times AC$
$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC(AD+DC)$
$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC\times AC$
$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

∴ $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$

{ माना की ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमे ∠B = 90° तथा कर्ण AC है| Triangles सिद्ध करना है की:- $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$

रचना:- B से AC पर BD लम्ब डाले

प्रमाण:- त्रिभुज ADB तथा ABC में,
∠ADB = ∠ABC = 90°
∠DAB = ∠BAC (उभयनिष्ठ कोण)

AA समरूपता कसौटी से,
ΔADB~ΔABC
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AC}$
$\Rightarrow AB^{2}=AD\times AC$ ...(1)

इसी प्रकार त्रिभुज CDB तथा CBA में
∠CDB = ∠ABC = 90°
∠BCD = ∠ACB (उभयनिष्ठ कोण)

AA समरूपता कसौटी से,
ΔCDB~ΔCBA
∴ $\frac{DC}{BC}=\frac{BC}{AC}$
$\Rightarrow BC^{2}=DC\times AC$ ...(2)

समीकरण (1) + समीकरण (2)
$AB^{2}+BC^{2}=AD\times AC+DC\times AC$
$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC(AD+DC)$
$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC\times AC$
$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

∴ $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$ }

Q21. Prove that in a triangle, if square of one side is equal to the sum of the squares of the other two sides then the angle opposite the first side is a right angle.

{सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता है|}

year 2018, 2016, 2014, 2012 of 6 marks

Ans. Given:- ΔABC in which $AC^2=AB^2+BC^2$

Prove:- ∠B=90°

Construction:- Draw a ΔXYZ right angled at Y, such that AB=XY and BC=YZ.
Triangles Proof:- In ΔXYZ

(By Pythagoras theorem)
$XZ^2=XY^2+YZ^2$

or $XZ^2=AB^2+BC^2\; ...(i)$
(By construction)

But given $AC^2=AB^2+BC^2\; \; ...(ii)$

From equation(i) and equation(ii),
AC=XZ

Now, in ΔABC and ΔXYZ,
AB=XY
BC=YZ
AC=XZ
By SSS congruency criterion,
ΔABC≅ΔXYZ

By CPCT,
∠B=∠Y
But ∠Y=90°
$\therefore$ ∠B=90°.

{दिया है:- ΔABC जिसमें $AC^2=AB^2+BC^2$

सिद्ध करना है:- ∠B=90°

रचना:- एक ΔXYZ खींचिए जो Y पर समकोण हो, जिससे AB=XY और BC=YZ हो|
Triangles प्रमाण:- ΔXYZ में

(पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)
$XZ^2=XY^2+YZ^2$

या $XZ^2=AB^2+BC^2\; ...(i)$
(निर्माण द्वारा)

लेकिन दिया हुआ है $AC^2=AB^2+BC^2\; \; ...(ii)$

समीकरण(i) और समीकरण(ii) से,
AC=XZ

अब, ΔABC और ΔXYZ में,
AB=XY
BC=YZ
AC=XZ
SSS सर्वांगसमता कसौटी से,
ΔABC≅ΔXYZ

CPCT द्वारा,
∠B=∠Y
लेकिन Y=90°
$\therefore$ B=90°}

Q22. Prove that the ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.

{सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है|}

year 2013 of 6 marks

Ans. Given:- 2 triangles such that
ΔABC∼ΔPQRProve:- $\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\left ( \frac{AB}{PQ} \right )^2=\left ( \frac{BC}{QR} \right )^2=\left ( \frac{CA}{RP} \right )^2$

Construction:- Draw AM⊥BC and PL⊥QR

Proof:- $ar(ABC)=\frac{1}{2}\times BC\times AM\; ...(i)$

$ar(PQR)=\frac{1}{2}\times QR\times PL\; ...(ii)$

Now, equation(i) $\div$ equation(ii)
$\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{\frac{1}{2}\times BC\times AM}{\frac{1}{2}\times QR\times PL}$

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{BC\times AM}{QR\times PL}\; ...(iii)$

Now, in ΔABM and ΔPQL
∠B=∠Q (ΔABC∼ΔPQR)
∠AMB=∠PLQ=90°
$\therefore$ By AA similarity criterion,
ΔABM∼ΔPQL
$\Rightarrow \frac{AM}{PL}=\frac{AB}{PQ}\; ...(iv)$

And given ΔABC∼ΔPQR
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}\; ...(v)$

Now, putting the value of equation(v) that $\frac{BC}{QR}=\frac{AB}{PQ}$ in equation(iii)
i.e. $\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{AB}{PQ}\times \frac{AM}{PL}\;...(vi)$

Now, putting the value of equation(iv) in equation(vi)
i.e. $\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{AB}{PQ}\times \frac{AB}{PQ}=\left ( \frac{AB}{PQ} \right )^2$

Now, using equation(v)
$\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\left ( \frac{AB}{PQ} \right )^2=\left ( \frac{BC}{QR} \right )^2=\left ( \frac{CA}{RP} \right )^2$

{दिया हुआ है:- 2 त्रिभुज इस प्रकार हैं कि
ΔABC∼ΔPQR Triangles सिद्ध करना है:- $\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\left ( \frac{AB}{PQ} \right )^2=\left ( \frac{BC}{QR} \right )^2=\left ( \frac{CA}{RP} \right )^2$

रचना:- AM⊥BC और PL⊥QR बनाए

प्रमाण:- $ar(ABC)=\frac{1}{2}\times BC\times AM\; ...(i)$

$ar(PQR)=\frac{1}{2}\times QR\times PL\; ...(ii)$

अब, समीकरण(i) $\div$ समीकरण(ii)
$\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{\frac{1}{2}\times BC\times AM}{\frac{1}{2}\times QR\times PL}$

$\Rightarrow \frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{BC\times AM}{QR\times PL}\; ...(iii)$

अब, ΔABM और ΔPQL में,
∠B=∠Q (ΔABC∼ΔPQR)
∠AMB=∠PLQ=90°
$\therefore$ AAA समरूपता कसौटी से,
ΔABM∼ΔPQL
$\Rightarrow \frac{AM}{PL}=\frac{AB}{PQ}\; ...(iv)$

और दिया हुआ है ΔABC∼ΔPQR
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{CA}{RP}\; ...(v)$

अब, समीकरण(v) का मान $\frac{BC}{QR}=\frac{AB}{PQ}$ को समीकरण (iii) में रखने पर
अर्थात् $\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{AB}{PQ}\times \frac{AM}{PL}\;...(vi)$

अब, समीकरण(iv) का मान समीकरण (vi) में रखने पर
अर्थात् $\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\frac{AB}{PQ}\times \frac{AB}{PQ}=\left ( \frac{AB}{PQ} \right )^2$

अब, समीकरण(v) का उपयोग करने पर
$\frac{ar(ABC)}{ar(PQR)}=\left ( \frac{AB}{PQ} \right )^2=\left ( \frac{BC}{QR} \right )^2=\left ( \frac{CA}{RP} \right )^2$ }

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Triangles (त्रिभुज)