Real numbers (वास्तविक संख्याएँ)

Get “Real numbers” chapter’s previous years questions from 2009 to 2020 of JAC board.

Q1. If h.c.f(306,657) = 9, find l.c.m(306,657)

{ 306 तथा 657 महत्तम समापवर्तक 9 दिया है| 306 तथा 657 का लघुमत्त समापवर्त्य ज्ञात कीजिये|}[su_spoiler title=”year 2011 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. $LCM(306,657)=\frac{306\times657}{9}$
$=22338$

Q2. Write 120 as a product of its prime factors.

{120 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में लिखिए } [su_spoiler title=”year 2019 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Prime factor of 120 =2×2×2×3×5= $2^{3}\times 3\times 5$

{ 120 का अभाज्य गुणनखंडन =2×2×2×3×5= $2^{3}\times 3\times 5$ }

Q3. Write 140 as a product of its prime factors.

{140 को अभाज्य गुणनखंडो के गुणनफल के रूप में लिखिए} [su_spoiler title=”year 2017, 2014 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Prime factor of 140= 2×2×5×7 = $2^{2}\times 5\times 7$

{140 का अभाज्य गुणनखंडन= 2×2×5×7 = $2^{2}\times 5\times 7$ }

Q4. Find the h.c.f of 26 and 91 by prime factoristion method.

{26और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा h.c.f ज्ञात कीजिये }[su_spoiler title=”year 2010 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Prime factor of 26=2×13

Prime factor of 91=7×13

∴ HCF(26,91) =13

{26 का अभाज्य गुणनखंड =2×13

91 का अभाज्य गुणनखंड =7×13

∴ HCF(26,91) =13}

Q5. Find the l.c.m. of 96 and 404 by prime factoristion method.

{ अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा 96 और 404 का l.c.m ज्ञात कीजिये} [su_spoiler title=”year 2016, 2012 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Prime factor of 96 =2×2×2×2×2×3

Prime factor of 404 =2×2×101

∴ LCM(96,404) =2×2×2×2×2×3×101 =9696

{96 का अभाज्य गुणनखंडन= 2×2×2×2×2×3

404 का अभाज्य गुणनखंडन= 2×2×101

∴ LCM(96,404) =2×2×2×2×2×3×101 =9696}

Q6. State whether rational number $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ will have a terminating decimal expansion or non-terminating repeating decimal expansion.

{बताइये की $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै}[su_spoiler title=”year 2020 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$

Denominator is in the form of $2^{3}5^{2}(i.e.\: 2^{n}5^{m})$

∴ $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ will have a terminating decimal expansion.

{ $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$

भाजक $2^{3}5^{2}$ (अर्थात् $2^{n} 5^{m}$ ) के रूप में हैै|

∴ $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार सांत है|}

Q7. State whether rational number $\frac{6}{15}$ will have a terminating decimal expansion or non-terminating repeating decimal expansion.

{बताइये की परिमेय संख्या $\frac{6}{15}$ के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै}[su_spoiler title=”year 2018 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=\frac{2}{5\times1}=\frac{2}{5^{1}\times2^{0}}$

Denominater is in the form of $2^{0}5^{1}(i.e.\: 2^{n}5^{m})$

∴ $\frac{6}{15}$ will have a terminating decimal expansion.

{ $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}=\frac{2}{5\times1}=\frac{2}{5^{1}\times2^{0}}$

भाजक $2^{0}5^{1}$ (अर्थात् $2^{n} 5^{m}$ ) के रूप में हैै|

∴ $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार सांत है|}

Q8. State whether the rational number $\frac{35}{50}$ will have a terminating decimal expansion or a non-terminating repeating decimal expansion.

{ बताइये की $\frac{35}{50}$ परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै} [su_spoiler title=”year 2015,2009 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. $\frac{35}{50}=\frac{7}{10}=\frac{7}{2\times5}=\frac{7}{2^{1}\times5^{1}}$

Denominater is in the form of $2^{1}5^{1}(i.e.\: 2^{n}5^{m})$

∴ $\frac{35}{50}$ will have a terminating decimal expansion.

{ $\frac{35}{50}=\frac{7}{10}=\frac{7}{2\times5}=\frac{7}{2^{1}\times5^{1}}$

भाजक $2^{1}5^{1}$ (अर्थात् $2^{n} 5^{m}$ ) के रूप में हैै|

∴ $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार सांत है|}

Q9. State whether the rational number $\frac{17}{8}$ will have a terminating decimal expansion or a non-terminating repeating decimal expansion.

{ बताइये की $\frac{17}{8}$ परिमेय संख्या के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैै} [su_spoiler title=”year 2013 of 1 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. $\frac{17}{8}=\frac{17}{2^{3}}=\frac{17}{2^{3}\times1}=\frac{17}{2^{3}\times5^{0}}$

Denominater is in the form of $2^{3}5^{0}(i.e.\: 2^{n}5^{m})$

∴ $\frac{17}{8}$ will have a terminating decimal expansion.

{ $\frac{17}{8}=\frac{17}{2^{3}}=\frac{17}{2^{3}\times1}=\frac{17}{2^{3}\times5^{0}}$

भाजक $2^{3}5^{0}$ (अर्थात् $2^{n} 5^{m}$ ) के रूप में हैै|

∴ $\frac{17}{8}$ का दशमलव प्रसार सांत है|}

Q10. Find the h.c.f of 96 and 404 by prime factoristion method.

{96 और 404 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा h.c.f ज्ञात कीजिये }[su_spoiler title=”year 2019 of 2 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Prime factor of 96 =2×2×2×2×2×3

Prime factor of 404 =2×2×101

∴ HCF(96,404) =2×2 =4

{96 का अभाज्य गुणनखंड =2×2×2×2×2×3

404 का अभाज्य गुणनखंड =2×2×101

∴ HCF(96,404) =2×2 =4}

Q11. Find the l.c.m. of 26 and 91 by prime factoristion method.

{26 और 91 का अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा l.c.m ज्ञात कीजिये} [su_spoiler title=”year 2020 of 2 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Prime factor of 26=2×13

prime factor of 91=7×13

∴ LCM(26,91) =2×7×13 =182

{26 का अभाज्य गुणनखंड =2×13

91 का अभाज्य गुणनखंड =7×13

∴ LCM(26,91) =2×7×13 =182}

Q12. Find the H.C.F of 135 and 225 using Euclid’s division algorithm.

{यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 135 और 225 का H.C.F ज्ञात कीजिए|}

[su_spoiler title=”year 2019, 2017 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. 225>135 $\begin{aligned}135)225(1\\ \frac{-135\;\;\: }{90}\end{aligned}$ 225=135×1+90
r≠0

$\begin{aligned}90)135(1\\ \frac{-90\; \; \; }{45}\end{aligned}$ 135=90×1+45
r≠0

$\begin{aligned}45)90(2\\ \frac{-90\; \; \; }{0}\end{aligned}$ 90=45×2+0
r=0

∴ Divisor = 45 is H.C.F(225,135)

{225>135 $\begin{aligned}135)225(1\\ \frac{-135\;\;\: }{90}\end{aligned}$ 225=135×1+90
r≠0

$\begin{aligned}90)135(1\\ \frac{-90\; \; \; }{45}\end{aligned}$ 135=90×1+45
r≠0

$\begin{aligned}45)90(2\\ \frac{-90\; \; \; }{0}\end{aligned}$ 90=45×2+0
r=0

∴ भाजक = 45 is H.C.F(225,135)}

Q13. Find the H.C.F of 420 and 272 using Euclid’s division algorithm.

{यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 420 और 272 का H.C.F ज्ञात कीजिए|}

[su_spoiler title=”year 2015 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. 420>272 $\begin{aligned}272)420(1\\ \frac{-272\; \;\;}{148}\end{aligned}$ 420=272×1+148
r≠0

$\begin{aligned}148)272(1\\ \frac{-148\; \;\;}{124}\end{aligned}$ 272=148×1+124
r≠0

$\begin{aligned}124)148(1\\ \frac{-124\; \;\;}{24}\end{aligned}$ 148=124×1+24
r≠0

$\begin{aligned}24)124(5\\ \frac{-120\; \;\;}{4}\end{aligned}$ 124=24×5+4
r≠0

$\begin{aligned}4)24(6\\ \frac{-24\; \;\;}{0}\end{aligned}$ 24=4×6+0
r=0

∴ Divisor = 4 is H.C.F(420,272)

{420>272 $\begin{aligned}272)420(1\\ \frac{-272\; \;\;}{148}\end{aligned}$ 420=272×1+148
r≠0

$\begin{aligned}148)272(1\\ \frac{-148\; \;\;}{124}\end{aligned}$ 272=148×1+124
r≠0

$\begin{aligned}124)148(1\\ \frac{-124\; \;\;}{24}\end{aligned}$ 148=124×1+24
r≠0

$\begin{aligned}24)124(5\\ \frac{-120\; \;\;}{4}\end{aligned}$ 124=24×5+4
r≠0

$\begin{aligned}4)24(6\\ \frac{-24\; \;\;}{0}\end{aligned}$ 24=4×6+0
r=0

∴ भाजक = 4 is H.C.F(420,272)}

Q14. Find the H.C.F of 12576 and 4052 using Euclid’s division algorithm.

{यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके 12576 और 4052 का H.C.F ज्ञात कीजिए|}

[su_spoiler title=”year 2013 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. 12576>4052
$\begin{aligned}4052)12576(3\\ \frac{-12156\; \;\;}{\; \; \; \;420}\end{aligned}$ 12576=4052×3+420
r≠0

$\begin{aligned}420)4052(9\\ \frac{-3780\; \;\;}{\; \;272}\end{aligned}$ 4052=420×9+272
r≠0

$\begin{aligned}272)420(1\\ \frac{-272\; \;\;}{\; \;148}\end{aligned}$ 420=272×1+148
r≠0

$\begin{aligned}148)272(1\\ \frac{-148\; \;\;}{124}\end{aligned}$ 272=148×1+124
r≠0

$\begin{aligned}124)148(1\\ \frac{-124\; \;\;}{\;24}\end{aligned}$ 148=124×1+24
r≠0

$\begin{aligned}24)124(5\\ \frac{-120\; \;\;}{\;\; \;4}\end{aligned}$ 124=24×5+4
r≠0

$\begin{aligned}4)24(6\\ \frac{-24\; \;\;}{0}\end{aligned}$ 24=4×6+0
r=0

∴ Divisor = 4 is H.C.F(4052,12576)

{12576>4052
$\begin{aligned}4052)12576(3\\ \frac{-12156\; \;\;}{\; \; \; \;420}\end{aligned}$ 12576=4052×3+420
r≠0

$\begin{aligned}420)4052(9\\ \frac{-3780\; \;\;}{\; \;272}\end{aligned}$ 4052=420×9+272
r≠0

$\begin{aligned}272)420(1\\ \frac{-272\; \;\;}{\; \;148}\end{aligned}$ 420=272×1+148
r≠0

$\begin{aligned}148)272(1\\ \frac{-148\; \;\;}{124}\end{aligned}$ 272=148×1+124
r≠0

$\begin{aligned}124)148(1\\ \frac{-124\; \;\;}{\;24}\end{aligned}$ 148=124×1+24
r≠0

$\begin{aligned}24)124(5\\ \frac{-120\; \;\;}{\;\; \;4}\end{aligned}$ 124=24×5+4
r≠0

$\begin{aligned}4)24(6\\ \frac{-24\; \;\;}{0}\end{aligned}$ 24=4×6+0
r=0

∴ भाजक = 4 is H.C.F(4052,12576)}

Q15. A battalion of 616 members have to be marched behind a band party of 32 members. Both groups have to be marched in equal number of columns. Evaluate the maximum number of the columns ?

{किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाली एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना होता है| दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है| इन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है ?}

[su_spoiler title=”year 2016 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Maximum number of the columns =H.C.F(616,32)
By Euclid’s division algorithm
616>32 $\begin{aligned}32)616(19\\ \frac{-608\; \;\; \; \, }{8}\end{aligned}$ 616=32×19+8
r≠0

$\begin{aligned}8)32(4\\ \frac{-32\; \;\;}{0}\end{aligned}$ 32=8×4+0
r=0

∴ Divisor = 8 is H.C.F(616,32)
Hence, maximum number of the columns =8

{स्तंभों की अधिकतम संख्या =H.C.F(616,32)
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा
616>32 $\begin{aligned}32)616(19\\ \frac{-608\; \;\; \; \, }{8}\end{aligned}$ 616=32×19+8
r≠0

$\begin{aligned}8)32(4\\ \frac{-32\; \;\;}{0}\end{aligned}$ 32=8×4+0
r=0

∴ भाजक = 8 is H.C.F(616,32)
अत: स्तंभों की अधिकतम संख्या =8}

Q16. Show that any positive even integer is of the form 4q or 4q+2, where q is some integer.

{दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक सम पूर्णांक 4q या 4q+2 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।}

[su_spoiler title=”year 2020 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Let n be an any positive integer.

On dividing n by 4, let q be the quotient and r be the remainder.

∴ By Euclid’s Division Lemma
n=4q+r, where 0≤r<4
$\Rightarrow$ n=4q
or, n=4q+1
or, n=4q+2
or, n=4q+3
Clearly, 4q+1 and 4q+3 are not divisible by 2. So, it is positive odd integer.
and 4q and 4q+2 are divisible by 2. So, it is positive even integer.

Hence, any positive even integer is of the form 4q or 4q+2, where q is some integer.

{मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है|

n को 4 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा|

∴ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा
n=4q+r, जहाँ 0≤r<4
$\Rightarrow$ n=4q
या, n=4q+1
या, n=4q+2
या, n=4q+3
स्पष्ट रूप से, 2 से 4q+1 और 4q+3 विभाज्य नहीं हैं। अतः, यह धनात्मक विषम पूर्णांक है|
और 2 से 4q और 4q+2 विभाज्य हैं। अतः, यह धनात्मक सम पूर्णांक है|

इसलिए, कोई भी धनात्मक सम पूर्णांक 4q या 4q+2 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|}

Q17. Show that any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3 or 6q+5, where q is some integer.

{दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।}

[su_spoiler title=”year 2018 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Let n be an any positive integer.

On dividing n by 6, let q be the quotient and r be the remainder.

∴ By Euclid’s Division Lemma
n=6q+r, where 0≤r<6
$\Rightarrow$ n=6q
or, n=6q+1
or, n=6q+2
or, n=6q+3
or, n=6q+4
or, n=6q+5
Clearly, 6q, 6q+2 and 6q+4 are divisible by 2. So, it is positive even integer.
and 6q+1, 6q+3 and 6q+5 are not divisible by 2. So, it is positive odd integer.

Hence, any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3 or 6q+5, where q is some integer.

{मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है|

n को 6 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा|

∴ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा
n=6q+r, जहाँ 0≤r<6
$\Rightarrow$ n=6q
या, n=6q+1
या, n=6q+2
या, n=6q+3
या, n=6q+4
या, n=6q+5
स्पष्ट रूप से, 2 से 6q, 6q+2 और 6q+4 विभाज्य हैं। अतः, यह धनात्मक सम पूर्णांक है|
और 2 से 6q+1, 6q+3 और 6q+5 विभाज्य नहीं हैं। अतः, यह धनात्मक विषम पूर्णांक है|

इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|}

Q18. Show that any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3, where q is some integer.

{दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।}

[su_spoiler title=”year 2010 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Let n be an any positive integer.

On dividing n by 6, let q be the quotient and r be the remainder.

Hence, any positive odd integer is of the form 6q+1 or 6q+3, where q is some integer.

{मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है|

n को 6 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा|

इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|}

Q19. Show that any positive odd integer is of the form 4q+1 or 4q+3, where q is some integer.

{दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।}

[su_spoiler title=”year 2014, 2011 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Let n be an any positive integer.

On dividing n by 4, let q be the quotient and r be the remainder.

Hence, any positive odd integer is of the form 4q+1 or 4q+3, where q is some integer.

{मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है|

n को 4 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा|

इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 4q+1 या 4q+3 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|}

Q20. Show that every positive even integer is in the form 2q and every positive odd integer is in the form 2q+1, where q is any integer.

{दर्शाइए कि प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप में होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप में होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है|}

[su_spoiler title=”year 2009 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Let n be an any positive integer.

On dividing n by 2, let q be the quotient and r be the remainder.

∴ By Euclid’s Division Lemma
n=2q+r, where 0≤r<2
$\Rightarrow$ n=2q
or, n=2q+1
Clearly, 2q are divisible by 2. So, it is positive even integer.
and 2q+1 are not divisible by 2. So, it is positive odd integer.

Hence, every positive even integer is in the form 2q and every positive odd integer is in the form 2q+1, where q is any integer.

{मान लीजिए n कोई धनात्मक पूर्णांक है|

n को 2 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा|

∴ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा
n=2q+r, जहाँ 0≤r<2
$\Rightarrow$ n=2q
या, n=2q+1
स्पष्ट रूप से, 2 से 2q विभाज्य हैं। अतः, यह धनात्मक सम पूर्णांक है|
और 2 से 2q+1 विभाज्य नहीं हैं। अतः, यह धनात्मक विषम पूर्णांक है|

इसलिए, प्रत्येक धनात्मक सम पूर्णांक 2q के रूप में होता है तथा प्रत्येक धनात्मक विषम पूर्णांक 2q+1 के रूप में होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।}

Q21. Show that the cube of any positive integer is of the form 9m, 9m+1 or 9m+8, Using Euclid’s division lemma.

{यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है|}

[su_spoiler title=”year 2012 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Let x be an any positive integer.

On dividing x by 3, let q be the quotient and r be the remainder.

∴ By Euclid’s Division Lemma
x=3q+r, where 0≤r<3
$\Rightarrow$ x=3q
or, x=3q+1
or, x=3q+2

Now, $x=3q$
$\Rightarrow x^3=27q^3=9(3q^3)=9m$

$or,\, x=(3q+1)$
$\Rightarrow x^3=(3q+1)^3$
$=27q^3+1+27q^2+9q$
$=27q^3+27q^2+9q+1$
$=9(3q^3+3q^2+q)+1$
$=9m+1$

$or,\, x=3q+2$
$\Rightarrow x^3=(3q+2)^3$
   $=27q^3+8+54q^2+36q$
   $=27q^3+54q^2+36q+8$
$=9(3q^3+6q^2+4q)+8$
   $=9m+8$

Where m is any integer.

∴ The cube of any positive integer is of the form 9m, 9m+1 or 9m+8.

{मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है।

x को 3 से भाग देने पर मान लीजिए भागफल q और शेषफल r आएगा|

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा
x=3q+r, जहाँ 0≤r<3
x=3q
या, x=3q+1
या, x=3q+2

अब, $x=3q$
$\Rightarrow x^3=27q^3=9(3q^3)=9m$

या, $x=(3q+1)$
$\Rightarrow x^3=(3q+1)^3$
$=27q^3+1+27q^2+9q$
$=27q^3+27q^2+9q+1$
$=9(3q^3+3q^2+q)+1$
$=9m+1$

या, $x=(3q+2)$
$\Rightarrow x^3=(3q+2)^3$
$=27q^3+8+54q^2+36q$
$=27q^3+54q^2+36q+8$
$=9(3q^3+6q^2+4q)+8$
$=9m+8$

जहाँ m कोई पूर्णांक है|

∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है|}

Q22. Prove that $\sqrt{5}$ is an irrational number.

{ सिद्ध कीजिये की $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है}. [su_spoiler title=”year 2016 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Lets $\sqrt{5}$ is a rational number

Then, $\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ …(1)
where, q≠0, and p and q are co-prime (i.e. p and q have H.C.F =1)

Squaring both sides,
$5=\frac{p^{2}}{q^{2}}$
$\Rightarrow q^{2}=\frac{p^{2}}{5}$
$\Rightarrow$ 5 divides $p^{2}$
$\Rightarrow$ 5 divides p also

Now, $\frac{p}{5}=a\; (let\, say)$
$\Rightarrow p=5a$ …(2)

Putting the value of p in eq(1)
$\sqrt{5}=\frac{5a}{q}$
$\Rightarrow \sqrt{5}q=5a$

Squaring both sides
$\Rightarrow 5q^{2}=25a^{2}$
$\Rightarrow q^{2}=5a^{2}$
$\Rightarrow \frac{q^{2}}{5}=a^{2}$
$\Rightarrow$ 5 divides $q^{2}$
$\Rightarrow$ 5 divides q also

Now, $\frac{q}{5}=b\; (let\, say)$
$\Rightarrow q=5b$ …(3)

From eq(2) and eq(3),
p=5a and q=5b
So, 5 is a common factor of p and q, which is a contradiction.

∴ Our assumption is wrong.

Hence, $\sqrt{5}$ is an irrational number.

{माना $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है|

तो, $\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ …(1)
,जहाँ q≠0, और p और q सह-अभाज्य है (अर्थात p और q का H.C.F =1)

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$5=\frac{p^{2}}{q^{2}}$
$\Rightarrow q^{2}=\frac{p^{2}}{5}$
$\Rightarrow$ $p^{2}$ को 5 विभाजित कर रही है|
$\Rightarrow$ p को भी 5 विभाजित करेगी|

अब, $\frac{p}{5}=a$ (मान लिए)
$\Rightarrow p=5a$ …(2)

P का मान समीकरण(1) में रखने पर
$\sqrt{5}=\frac{5a}{q}$
$\Rightarrow \sqrt{5}q=5a$

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$\Rightarrow 5q^{2}=25a^{2}$
$\Rightarrow q^{2}=5a^{2}$
$\Rightarrow \frac{q^{2}}{5}=a^{2}$
$\Rightarrow$ $q^{2}$ को 5 विभाजित कर रही है|
$\Rightarrow$ q को भी 5 विभाजित करेगी|

अब, $\frac{q}{5}=b$ (मान लिए)
$\Rightarrow q=5b$ …(3)

समीकरण(2) और समीकरण(3) से,
p=5a और q=5b
P और q का उभयनिष्ठ गुणनखंड 5 है जो विरोधाभास है|

∴ हमारी मान्यता गलत है|

अतः $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|}

Q23. Prove that $\sqrt{3}$ is an irrational number

{सिद्ध कीजिये की $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है} [su_spoiler title=”year 2010 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Lets $\sqrt{3}$ is a rational number

Then, $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ …(1)
where, q≠0, and p and q are co-prime (i.e. p and q have H.C.F =1)

Squaring both sides,
$3=\frac{p^{2}}{q^{2}}$
$\Rightarrow q^{2}=\frac{p^{2}}{3}$
$\Rightarrow$ 3 divides $p^{2}$
$\Rightarrow$ 3 divides p also

Now, $\frac{p}{3}=a\; (let\: say)$
$\Rightarrow p=3a$ …(2)

Putting the value of p in eq(1)
$\sqrt{3}=\frac{3a}{q}$
$\Rightarrow \sqrt{3}q={3a}$

Squaring both sides
$\Rightarrow 3q^{2}=9a^{2}$
$\Rightarrow q^{2}=3a^{2}$
$\Rightarrow \frac{q^{2}}{3}=a^{2}$
$\Rightarrow$ 3 divides $q^{2}$
$\Rightarrow$ 3 divides q also

Now, $\frac{q}{3}=b \; (let\: say)$
$\Rightarrow q=3b$ …(3)

From eq(2) and eq(3),
p=3a and q=3b
So, 3 is a common factor of p and q, which is a contradiction.

∴ Our assumption is wrong.

Hence, $\sqrt{3}$ is an irrational number.

{माना $\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है|

तो, $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ …(1)
,जहाँ q≠0, और p और q सह-अभाज्य है (अर्थात p और q का H.C.F =1)

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$3=\frac{p^{2}}{q^{2}}$
$\Rightarrow q^{2}=\frac{p^{2}}{3}$
$\Rightarrow$ $p^{2}$ को 3 विभाजित कर रही है|
$\Rightarrow$ p को भी 3 विभाजित करेगी|

अब, $\frac{p}{3}=a\;$ (मान लिए)
$\Rightarrow p=3a$ …(2)

P का मान समीकरण(1) में रखने पर
$\sqrt{3}=\frac{3a}{q}$
$\Rightarrow \sqrt{3}q={3a}$

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$\Rightarrow 3q^{2}=9a^{2}$
$\Rightarrow q^{2}=3a^{2}$
$\Rightarrow \frac{q^{2}}{3}=a^{2}$
$\Rightarrow$ $q^{2}$ को 3 विभाजित कर रही है|
$\Rightarrow$ q को भी 3 विभाजित करेगी|

अब, $\frac{q}{3}=b$ (मान लिए)
$\Rightarrow q=3b$ …(3)

समीकरण(2) और समीकरण(3) से,
p=3a और q=3b
P और q का उभयनिष्ठ गुणनखंड 3 है जो विरोधाभास है|

∴ हमारी मान्यता गलत है|

अतः $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है|}

Q24. Prove that $\sqrt{2}$ is an irrational number

{सिद्ध कीजिये की $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है} [su_spoiler title=”year 2011 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Lets $\sqrt{2}$ is a rational number

Then, $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ …(1)
where, q≠0, and p and q are co-prime (i.e. p and q have H.C.F =1)

Squaring both sides,
$2=\frac{p^{2}}{q^{2}}$
$\Rightarrow q^{2}=\frac{p^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ 2 divides $p^{2}$
$\Rightarrow$ 2 divides p also

Now, $\frac{p}{2}=a\; (let\: say)$
$\Rightarrow p=2a$ …(2)

Putting the value of p in eq(1)
$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{2a}{q}$
$\Rightarrow \sqrt{2}q=\2a$

Squaring both sides
$\Rightarrow 2q^{2}=4a^{2}$
$\Rightarrow q^{2}=2a^{2}$
$\Rightarrow \frac{q^{2}}{2}=a^{2}$
$\Rightarrow$ 2 divides $q^{2}$
$\Rightarrow$ 2 divides q also

Now, $\frac{q}{2}=b\; (let\: say)$
$\Rightarrow q=2b$ …(3)

From eq(2) and eq(3),
p=2a and q=2b
So, 2 is a common factor of p and q, which is a contradiction.

∴ Our assumption is wrong.

Hence, $\sqrt{2}$ is an irrational number.

{माना $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है|

तो, $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ …(1)
,जहाँ q≠0, और p और q सह-अभाज्य है (अर्थात p और q का H.C.F =1)

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$2=\frac{p^{2}}{q^{2}}$
$\Rightarrow q^{2}=\frac{p^{2}}{2}$
$\Rightarrow$ $p^{2}$ को 2 विभाजित कर रही है|
$\Rightarrow$ p को भी 2 विभाजित करेगी|

अब, $\frac{p}{2}=a$ (मान लिए)
$\Rightarrow p=2a$ …(2)

P का मान समीकरण(1) में रखने पर
$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{2a}{q}$
$\Rightarrow \sqrt{2}q=\2a$

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$\Rightarrow 2q^{2}=4a^{2}$
$\Rightarrow q^{2}=2a^{2}$
$\Rightarrow \frac{q^{2}}{2}=a^{2}$
$\Rightarrow$ $q^{2}$ को 2 विभाजित कर रही है|
$\Rightarrow$ q को भी 2 विभाजित करेगी|

अब, $\frac{q}{2}=b$ (मान लिए)
$\Rightarrow q=2b$ …(3)

समीकरण(2) और समीकरण(3) से,
p=2a और q=2b
P और q का उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 है जो विरोधाभास है|

∴ हमारी मान्यता गलत है|

अतः $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है|}

Q25. Prove that $7\sqrt{5}$ is irrational number

{सिद्ध कीजिये की $7\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है} [su_spoiler title=”year 2020, 2015 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Let $7\sqrt{5}$ is rational.

Then, $7\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ (where q≠0)
$\Rightarrow$ $\sqrt{5}=\frac{p}{7q}$

As p,q and 7 are integer, then $\frac{p}{7q}$ is rational, and so $\sqrt{5}$ is also rational.

But this is contradiction to the fact that $\sqrt{5}$ is irrational.

This contradiction has produced because of our wrong assumption that $7\sqrt{5}$ is rational.

So ,it concludes that $7\sqrt{5}$ is an irrational number.

{माना कि $7\sqrt{5}$ परिमेय संख्या है|

तो, $7\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ (जहाँ q≠0)
$\Rightarrow$ $\sqrt{5}=\frac{p}{7q}$

चूँकि 7, p और q पूर्णांक है इसलिए $\frac{p}{7q}$ एक परिमेय संख्या होगी| तो $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या होगी|

परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है की $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|

हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की $7\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है|

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते है की $7\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|}

Q26. Prove that $6+\sqrt{2}$ is irrational.

{ सिद्ध कीजिये की $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है} [su_spoiler title=”year 2019, 2014 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Lets $6+\sqrt{2}$ is rational.

Then, $6+\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ (where q≠0)
$\Rightarrow$ $\sqrt{2}=\frac{p}{q}-6$
As 6,p and q are integers, then $\frac{p}{q}-6$ is rational, and so $\sqrt{2}$ is also rational.

But this is contradiction to fact that $\sqrt{2}$ is irrational.

This contradiction has produced because of our wrong assumption that $6+\sqrt{2}$ is rational.

So, it concludes that $6+\sqrt{2}$ is an irrational number.

{माना की $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है|

तो, $6+\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ (जहाँ q≠0)
$\Rightarrow$ $\sqrt{2}=\frac{p}{q}-6$

चूँकि 6,p और q पूर्णांक है, इसलिए $\frac{p}{q}-6$ एक परिमेय संख्या होगी| तो $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होगी|

परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है की $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है|

हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है|

अतः, हम निष्कर्ष निकलते हैं की $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है|}

Q27. Prove that $3+2\sqrt{5}$ is irrational number.

{ सिद्ध कीजिये की $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है} [su_spoiler title=”year 2018, 2012 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Lets $3+2\sqrt{5}$ is rational.

Then, $3+2\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ (where q≠0)

$\Rightarrow 2\sqrt{5}=\frac{p}{q}-3$

$\Rightarrow$ $\sqrt{5}=\frac{p}{2q}-\frac{3}{2}$
As 3, 2, p and q are integers, then $\frac{p}{2q}-\frac{3}{2}$ is rational, and so $\sqrt{5}$ is also rational.

But this is contradiction to fact that $\sqrt{5}$ is irrational.

This contradiction has produced because of our wrong assumption that $3+2\sqrt{5}$ is rational.

So, it concludes that $3+2\sqrt{5}$ is an irrational number.

{माना की $3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है|

तो, $3+2\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ (जहाँ q≠0)

$\Rightarrow 2\sqrt{5}=\frac{p}{q}-3$

$\Rightarrow$ $\sqrt{5}=\frac{p}{2q}-\frac{3}{2}$

चूँकि 2, 3, p और q पूर्णांक है, इसलिए $\frac{p}{2q}-\frac{3}{2}$ एक परिमेय संख्या होगी| तो $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या होगी|

हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की $3+2\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है|

अतः, हम निष्कर्ष निकलते हैं की $3+2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है|}

Q28. Prove that $5-\sqrt{3}$ is an irrational number.

{ सिद्ध कीजिये की $5-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है} [su_spoiler title=”year 2017, 2013, 2009 of 3 marks” style=”simple” anchor_in_url=”yes”][/su_spoiler]

Ans. Lets $5-\sqrt{3}$ is rational.
Then, $5-\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ (where q≠0)
$\Rightarrow$ $\sqrt{3}=5-\frac{p}{q}$
As 5, p and q are integers, then $5-\frac{p}{q}$ is rational, and so $\sqrt{3}$ is also rational.

But this is contradiction to fact that $\sqrt{3}$ is irrational.

This contradiction has produced because of our wrong assumption that $5-\sqrt{3}$ is rational.

So, it concludes that $5-\sqrt{3}$ is an irrational number.

{माना की $5-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है|
तो, $5-\sqrt{3}=\frac{p}{q}$ (जहाँ q≠0)
$\Rightarrow$ $\sqrt{3}=5-\frac{p}{q}$

चूँकि 5, p और q पूर्णांक है, इसलिए $5-\frac{p}{q}$ एक परिमेय संख्या होगी| तो $\sqrt{3}$ भी एक परिमेय संख्या होगी|

परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है की $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है|

हमें यह विरोधाभास अपनी गलत कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है की $5-\sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है|

अतः, हम निष्कर्ष निकलते हैं की $5-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है|}

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STUDENTHAPPY

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