Quadratic equations (द्विघात समीकरण)
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Q1. Check whether is a quadratic equation or not.
{ जांच कीजिये की एक द्विघात समीकरण है या नहीं|}
Ans.
It is in the form of
hence, It is a quadratic equation.
{
यहाँ समीकरण के रूप में है
∴ यह एक द्विघात समीकरण है}
Q2. Check whether is a quadratic equation or not.
{ जांच कीजिये की एक द्विघात समीकरण है या नहीं|}
Ans.
It is in the form of
hence, It is a quadratic equation.
{
यहाँ समीकरण के रूप में है
∴ यह एक द्विघात समीकरण है}
Q3. Check whether is a quadratic equation or not.
{ जांच कीजिये की एक द्विघात समीकरण है या नहीं|}
Ans.
It is not in the form of
hence, It is not a quadratic equation.
{
यहाँ समीकरण के रूप में नहीं है
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है}
Q4. Check whether is a quadratic equation or not.
{ जांच कीजिये की एक द्विघात समीकरण है या नहीं|}
Ans.
It is in the form of
hence, It is a quadratic equation.
{
यहाँ समीकरण के रूप में है
∴ यह एक द्विघात समीकरण है}
Q5. Check whether is a quadratic equation or not.
{ जांच कीजिये की एक द्विघात समीकरण है या नहीं|}
Ans.
It is in the form of
Hence, It is a quadratic equation.
{
यहाँ समीकरण के रूप में है
∴ यह एक द्विघात समीकरण है}
Q6. Check whether is a quadratic equation or not.
{ जांच कीजिये की एक द्विघात समीकरण है या नहीं|}
Ans.
It is in the form of
hence, It is a quadratic equation.
{
यहाँ समीकरण के रूप में है
∴ यह एक द्विघात समीकरण है}
Q7. Check whether is a quadratic equation or not.
{ जांच कीजिये की एक द्विघात समीकरण है या नहीं|}
Ans.
It is not in the form of
Hence, It is not a quadratic equation.
{
यहाँ समीकरण के रूप में नहीं है|
∴ यह एक द्विघात समीकरण नहीं है}
Q8. Find out the discriminant, nature of roots and roots, using quadratic formula of the quadratic equation
{ द्विघात समीकरण का विविक्तकर, मूलों की प्रकृति तथा द्विघाती सूत्र का उपयोग कर मूल ज्ञात कीजिए|} Ans. Here, a=2 b=-6 , c=3
(1) Discriminant(D)=
=
= 36 – 24
= 12
(2) D= 12> 0
∴ Roots are real and distinct.
(3) By quadratic formula
,
,
∴ Roots= ,
{ यहाँ, a=2 b=-6 , c=3 है|
(1) विविक्तकर(D)=
=
= 36 – 24
= 12
(2) D= 12> 0
∴ मूल वास्तविक और असमान है|
(3) द्विघात सूत्र से
,
,
∴ मूलों= ,
}
Q9. Find out the nature of roots of the quadratic equation . If real roots are exist, then find the roots.
{द्विघात समीकरण का मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए| यदि वास्तविक मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए|}
Ans. Here, a=2 b=-6 , c=3
Discriminant(D)=
=
= 36 – 24
= 12
(1) D= 12> 0
∴ Roots are real and distinct.
(2) By quadratic formula
,
,
∴ Roots= ,
{यहाँ, a=2 b=-6 , c=3 है|
विविक्तकर(D)=
=
= 36 – 24
= 12
(1) D= 12> 0
∴ मूल वास्तविक और असमान है|
(2) द्विघात सूत्र से
,
,
∴ मूलों= ,
}
Q10. Find out the discriminant, nature of roots and roots, using binomial formula of the quadratic equation
{ द्विघात समीकरण का विविक्तकर, मूलों की प्रकृति तथा द्विघाती सूत्र का उपयोग कर मूल ज्ञात कीजिए|} Ans. Here, a=2, b=
, c=1
(1) Discriminant(D)=
8-8
0
(2) D= 0
∴ Roots are real and equal.
(3) By quadratic formula
,
,
∴ Roots,
{ यहाँ, a=2, b= , c=1 है|
(1) विविक्तकर(D)=
8-8
0
(2) D= 0
∴ मूल वास्तविक और समान है|
(3) द्विघात सूत्र से
,
,
∴ मूलों ,
}
Q11. The roots of the following quadratic equation, if they are exist, then find it by using binomial/quadratic formula:
{निम्न द्विघात समीकरण का मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए: }
Ans. Here, a=2, b= , c=1
Discriminant(D)=
8-8
0
(1) D= 0
∴ Roots are real and equal.
(2) By quadratic formula
,
,
∴ Roots,
{ यहाँ, a=2, b= , c=1 है|
विविक्तकर(D)=
8-8
0
(1) D= 0
∴ मूल वास्तविक और समान है|
(2) द्विघात सूत्र से
,
,
∴ मूलों ,
}
Q12. Find out the discriminant, nature of roots and roots, using binomial formula of the quadratic equation
{ द्विघात समीकरण का विविक्तकर, मूलों की प्रकृति तथा द्विघाती सूत्र का उपयोग कर मूल ज्ञात कीजिए|} Ans. Here, a=3 , b=-2 , c=
(1) Discriminant(D)=
4-4
0
(2) D= 0
∴ Roots are real and equal.
(3) By quadratic formula
,
,
,
∴ Roots ,
{यहाँ, a=3 , b=-2 , c=
(1) विविक्तकर(D)=
4-4
0
(2) D= 0
∴ मूल वास्तविक और समान है|
(3) द्विघात सूत्र से
,
,
,
∴ मूलों,
}
Q13. Find out the nature of roots of the quadratic equation , If real roots are exist, then find the roots.
{द्विघात समीकरण का मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए| यदि वास्तविक मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए|}
Ans. Here, a=3 , b=-2 , c=
Discriminant(D)=
4-4
0
(1) D= 0
∴ Roots are real and equal.
(2) By quadratic formula
,
,
,
∴ Roots ,
{यहाँ, a=3 , b=-2 , c=
विविक्तकर(D)=
4-4
0
(1) D= 0
∴ मूल वास्तविक और समान है|
(2) द्विघात सूत्र से
,
,
,
∴ मूलों,
}
Q14. Find out the (a) discriminant, (b) nature of roots and (c) roots, using binomial formula of the quadratic equation
{ द्विघात समीकरण का (a) विविक्तकर, (b) मूलों की प्रकृति तथा (c) मूल, द्विघाती सूत्र का उपयोग कर ज्ञात कीजिए|} Ans. Here, a=3 , b=-5 , c=2
(a) Discriminant(D)=
25-24
1
(b) D= 1> 0
∴ Roots are real and distinct.
(c) By quadratic formula
,
= 1,
∴ Roots= 1,
{यहाँ, a=3 , b=-5 , c=2
(a) विविक्तकर(D)=
25-24
1
(b) D= 1> 0
∴ मूल वास्तविक और असमान है|
(c) द्विघात सूत्र से
,
= 1,
∴ मूलों= 1, }
Q15. Find discriminant and nature of roots of the quadratic equation . Find out the roots by using quadratic formula if they are real.
{ द्विघात समीकरण का विविक्तकर ज्ञात कीजिए तथा मूलों की प्रकृति लिखिए| यदि मूल वास्तविक हैं तो उन्हें द्विघात सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए|}
Ans. Same as question 14
{प्रश्न 14 के समान}
Q16. The roots of the following quadratic equation, if they are exist, then find it by using binomial/quadratic formula:
{निम्न द्विघात समीकरण का मूल, यदि उनका अस्तित्व हो, तो द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए: }
Ans. Here, a=3 , b=-5 , c=2
Discriminant(D)=
25-24
1
(1) D= 1> 0
∴ Roots are real and distinct.
(2) By quadratic formula
,
= 1,
∴ Roots= 1,
{यहाँ, a=3 , b=-5 , c=2
विविक्तकर(D)=
25-24
1
(1) D= 1> 0
∴ मूल वास्तविक और असमान है|
(c) द्विघात सूत्र से
,
= 1,
∴ मूलों= 1, }
Q17. Find out the discriminant, nature of roots and roots, using binomial formula of the quadratic equation
{ द्विघात समीकरण का विविक्तकर, मूलों की प्रकृति तथा द्विघाती सूत्र का उपयोग कर मूल ज्ञात कीजिए|} Ans. Here, a=4 b=
, c=3
(1) Discriminant(D)=
48-48
0
(2) D= 0
∴ Roots are real and equal
(3) By quadratic formula
,
∴ Roots
{यहाँ, a=4 b= , c=3
(1) विविक्तकर(D)=
48-48
0
(2) D= 0
∴ मूल वास्तविक और समान है|
(3) द्विघात सूत्र से
,
∴ मूलों }
Q18. Find such two numbers whose sum is 27 and product is 182.
{ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो|}
Ans. Let required numbers be and
From question,
or
or
Required numbers are 13 and (27-13)=14
or 14 and (27-14)=13
Required numbers are 13 and 14.
{माना की आवश्यक संख्याएँ और
हैं|
प्रश्न से,
या
या
आवश्यक संख्याएँ हैं 13 और (27-13)=14
या 14 और (27-14)=13
आवश्यक संख्याएँ 13 और 14 हैं|
Q19. The sum of the reciprocals of Muskan’s ages 3 years ago and 5 years from now is . Find her present age.
{3 वर्ष पूर्व मुस्कान की आयु का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात आयु के व्युत्क्रम का योग है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए|}
Ans. Let the present age of Muskan=x,
age from 3 years ago=(x-3)
and age after 5 years=(x+5)
From question,
or
or
Age can not be negative
Present age of Muskan is 7 years.
{माना मुस्कान की वर्तमान आयु = x,
3 साल पहले की उम्र =(x-3)
और 5 साल बाद की उम्र=(x+5)
प्रश्न से,
या
या
उम्र नकारात्मक नहीं हो सकती
मुस्कान की वर्तमान आयु 7 वर्ष है|}
Q20. Find two consecutive odd positive integers, sum of whose squares is 290.
{दो ऐसे क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 290 हो|}
Ans. Let two consecutive odd integers be x,x+2
From question,
or
or
-13 is negative integer
x=11 and (x+2)=11+2=13
Consecutive odd positive integers =11 and 13.
{माना की दो क्रमागत विषम पूर्णांक x,x+2 है
प्रश्न से,
या
या
-13 ऋणात्मक पूर्णांक है|
x=11 और (x+2)=11+2=13
क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक =11 और 13}
Q21. Find two consecutive positive integers, sum of whose squares is 365.
{दो ऐसे क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो|}
Ans. Let two consecutive integers be x,x+1
From question,
or
or
-14 is negative integer
x=13 and (x+1)=13+1=14
Consecutive positive integers =13 and 14.
{माना की दो क्रमागत पूर्णांक x,x+1 है
प्रश्न से,
या
या
-14 ऋणात्मक पूर्णांक है|
x=13 और (x+1)=13+1=14
क्रमागत धनात्मक पूर्णांक =13 और 14}
Q22. Sum of the areas of any two squares is . If the difference of their perimeter is a 24m, then find out the sides of the two squares.
{दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग है| यदि उनके परिमापों का अंतर 24m हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|}
Ans. Let the sides of 2 squares be x metre and y metre respectively.
Then area of squares is and
and perimeters of squares is 4x metre and 4y metre respectively.
From question,
and
Putting in
or
or
Sides are always positive.
The sides of the two squares 12m and 18m.
{माना 2 वर्गों की भुजाएँ क्रमशः x मीटर और y मीटर हैं|
तब वर्गों का क्षेत्रफल और
होगा|
और वर्गों का परिमाप क्रमशः 4x मीटर और 4y मीटर होगा|
प्रश्न से,
तथा
का मान
में रखने पर
या
या
भुजाएँ हमेशा सकारात्मक होते हैं
दो वर्गों की भुजाएँ 12m और 18m}
Q23. The diagonal of a rectangular field is 60 metres more than the shorter side. If the longer side is 30 metres greater than the shorter side, find the sides of the field.
{एक आयताकार खेत की विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मीटर अधिक लम्बा है|यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मीटर अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए|}
Ans. Let the shorter side be x metre,
longer side be (x+30) metre
and diagonal be (x+60) metre.
Applying Pythagoras theorem,
or
or
Sides are always positive.
x=90
and (x+30)=90+30=120
Shorter side =90m and longer side =120m.
{माना की छोटी भुजा x मीटर हैं,
बड़ी भुजा (x+30) मीटर हैं
और विकर्ण (x+60) मीटर हैं|
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा ,
या
या
भुजाएँ हमेशा सकारात्मक होते हैं
x=90
and (x+30)=90+30=120
छोटी भुजा =90m और बड़ी भुजा 120m}
Q24. An express train travels 360 km at a uniform speed. If the speed has been increased by 5 km/h, it would have taken 1 hour less from the same journey. Find the actual speed of the train.
{एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 किमी की दुरी तय करती है| यदि यह चाल 5 किमी / घंटा अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लेती| रेलगाड़ी की चाल ज्ञात कीजिए|}
Ans. Let uniform speed of train be x km/h,
then time taken to covered 360km
If, speed increase by 5 km/h,
then time taken to covered 360km
Given that, it would have taken 1 hour less from the same journey, after increasing speed
or
or
Speed can not be negative
Uniform speed of train =40km/h
{माना की ट्रेन की समान गति x किमी/घंटा है,
तो 360km की दूरी तय करने में लगा समय घंटा
यदि गति में 5 किमी/घण्टा की वृद्धि हो जाती है,
तो 360km तय करने में लगा समय घंटा
दिया हुआ है, गति बढ़ाने के बाद ट्रैन को उसी यात्रा में 1 घंटा कम समय लगता है
या
या
गति ऋणात्मक नहीं हो सकती
ट्रेन की समान गति =40km/h}
9113323460
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