Coordinate geometry (निर्देशांक ज्यामिति)

Get “Coordinate geometry” chapter’s previous years questions from 2009 to 2020 of JAC board.

Q1. Find the distance between the points A(-5,7) and B(-1,3)

{बिंदुओं A(-5,7) और B(-1,3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए|}

year 2019 of 3 marks

Ans. From distance formula,
$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{[(-1)-(-5)]^{2}+(3-7)^{2}}$
$=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}$
$=\sqrt{16+16}$
$=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ units

{दुरी सूत्र से,
$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{[(-1)-(-5)]^{2}+(3-7)^{2}}$
$=\sqrt{4^{2}+(-4)^{2}}$
$=\sqrt{16+16}$
$=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ मात्रक}

Q2. Find the distance between the points A(2,3) and B(4,1)

{बिंदुओं A(2,3) और B(4,1) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए|}

year 2017,2013,2010 of 2 marks

Ans. From distance formula,
$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}$
$=\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}$
$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} units$

{दुरी सूत्र से,
$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(4-2)^{2}+(1-3)^{2}}$
$=\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}}$
$=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ मात्रक}

Q3. Find the distance between the points A(a,b) and B(-a,-b)

{बिंदुओं A(a,b) और B(-a,-b) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए|}

year 2012 of 2 marks

Ans. From distance formula,
$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}$
$=\sqrt{(-2a)^{2}+(-2b)^{2}}$
$=\sqrt{4a^{2}+4b^{2}}$
$=\sqrt{4(a^{2}+b^{2})}$
$=2\sqrt{(a^{2}+b^{2})}$ units

{दुरी सूत्र से,
$AB=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$
$=\sqrt{(-a-a)^{2}+(-b-b)^{2}}$
$=\sqrt{(-2a)^{2}+(-2b)^{2}}$
$=\sqrt{4a^{2}+4b^{2}}$
$=\sqrt{4(a^{2}+b^{2})}$
$=2\sqrt{(a^{2}+b^{2})}$ मात्रक}

Q4. Find the value of y which the distance between the points P(2,-3) and Q(10,y) is 10 units.

{y का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु P(2,-3) और Q(10,y) के बीच की दूरी 10 मात्रक है|}

year 2018 of 2 marks

Ans. PQ = 10

After squaring,
$PQ^{2}=10^{2}=100$
$\Rightarrow(10-2)^{2}+[y-(-3)]^{2}=100$
$\Rightarrow(8)^{2}+(y+3)^{2}=100$
$\Rightarrow(y+3)^{2}=100-64$
$\Rightarrow(y+3)^{2}=36$
$\Rightarrow y+3=\pm 6$
$\Rightarrow y+3=6$ or $y+3=-6$
$\Rightarrow$ y=6-3 or y= -6-3
$\Rightarrow$ y=3 or y= -9

∴ y=3,-9

{PQ = 10

वर्ग करने पर ,
$PQ^{2}=10^{2}=100$
$\Rightarrow(10-2)^{2}+[y-(-3)]^{2}=100$
$\Rightarrow(8)^{2}+(y+3)^{2}=100$
$\Rightarrow(y+3)^{2}=100-64$
$\Rightarrow(y+3)^{2}=36$
$\Rightarrow y+3=\pm 6$
$\Rightarrow y+3=6$ या $y+3=-6$
$\Rightarrow$ y=6-3 या y= -6-3
$\Rightarrow$ y=3 या y= -9

∴ y=3,-9}

Q5. Find the point on the y-axis which is equidistant from (6,5) and (-4,3)

{y-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिये जो (6,5) और (-4,3) से समदूरस्थ है|}

year 2016,2014 of 2 marks

Ans. Let the point be P(0,y) which is equidistant from A(6,5) and B(-4,3)

∴ AP=PB
Squaring both side,
$AP^{2}=PB^{2}$
$\Rightarrow (0-6)^{2}+(y-5)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2}$
$\Rightarrow 36+y^{2}+25-10y=16+9+y^{2}-6y$
$\Rightarrow 61-10y=25-6y$
$\Rightarrow -4y=-36$
$\Rightarrow y=9$

∴ point=(0,9)

{माना की वह बिंदु P(0,y) है जो A(6,5) और B(-4,3) से समदूरस्थ है|

∴ AP=PB
दोनों तरफ वर्ग करने पर ,
$AP^{2}=PB^{2}$
$\Rightarrow (0-6)^{2}+(y-5)^{2}=(-4-0)^{2}+(3-y)^{2}$
$\Rightarrow 36+y^{2}+25-10y=16+9+y^{2}-6y$
$\Rightarrow 61-10y=25-6y$
$\Rightarrow -4y=-36$
$\Rightarrow y=9$

∴ बिंदु=(0,9) }

Q6. Find the point on the x-axis which is equidistant from (2,5) and (-2,9)

{x-अक्ष पर वह बिंदु ज्ञात कीजिये जो (2,5) और (-2,9) से समदूरस्थ है|}

year 2009 of 2 marks

Ans Let the point be P(x,0) which is equidistant from A(2,5) and B(-2,9)

∴ AP=PB
Squaring both side,
$AP^{2}=PB^{2}$
$\Rightarrow (x-2)^{2}+(0-5)^{2}=(-2-x)^{2}+(9-0)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+4-4x+25=4+x^{2}+4x+81$
$\Rightarrow 29-4x=85+4x$
$\Rightarrow -8x=56$
$\Rightarrow x=-7$

∴ point=(-7,0)

{माना की वह बिंदु P(x,0) है जो A(2,5) और B(-2,9) से समदूरस्थ है|

∴ AP=PB

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$AP^{2}=PB^{2}$
$\Rightarrow (x-2)^{2}+(0-5)^{2}=(-2-x)^{2}+(9-0)^{2}$
$\Rightarrow x^{2}+4-4x+25=4+x^{2}+4x+81$
$\Rightarrow 29-4x=85+4x$
$\Rightarrow -8x=56$
$\Rightarrow x=-7$

∴ बिंदु=(-7,0) }

Q7. Find the co-ordinates of the points which divides the segment joining the points (4,-3) and (8,5) in the ratio 3:1 internally.

{उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं (4,-3) और (8,5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रुप में 3:1 के अनुपात में विभाजित करता है|}

year 2019,2015 of 3 marks

Ans. Lets the co-ordinates of the point is P(x,y)

Using section formula
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{(3\times8)+(1\times4)}{3+1},\frac{(3\times5)+(1\times-3)}{3+1} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{24+4}{4},\frac{15-3}{4} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{28}{4},\frac{12}{4} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( 7,3 \right )$

∴ the co-ordinates of the points is (7,3)

{माना की बिंदु का निर्देशांक P(x,y) है|

विभाजन सूत्र से,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{(3\times8)+(1\times4)}{3+1},\frac{(3\times5)+(1\times-3)}{3+1} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{24+4}{4},\frac{15-3}{4} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{28}{4},\frac{12}{4} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( 7,3 \right )$

∴ बिंदु का निर्देशांक (7,3) है|}

Q8. Find the co-ordinates of the points which divides the segment joining the points A(-1,7) and B(4,-3) in the ratio 2:3.

{उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं A(-1,7) और B(4,-3) को जोड़ने वाले रेखाखंड को 2:3 के अनुपात में विभाजित करता है|}

year 2013 of 3 marks

Ans. Lets the co-ordinates of the point is P(x,y)

Using section formula
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{(2\times4)+(3\times-1)}{2+3},\frac{(2\times-3)+(3\times7)}{2+3} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{8-3}{5},\frac{-6+21}{5} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{5}{5},\frac{15}{5} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( 1,3 \right )$

∴ the co-ordinates of the points is (1,3)

{माना की बिंदु का निर्देशांक P(x,y) है|

विभाजन सूत्र से,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{(2\times4)+(3\times-1)}{2+3},\frac{(2\times-3)+(3\times7)}{2+3} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{8-3}{5},\frac{-6+21}{5} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{5}{5},\frac{15}{5} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( 1,3 \right )$

∴ बिंदु का निर्देशांक (1,3) है|}

Q9. Find out the co-ordinates of a point A, where AB is a diameter of a circle whose centre is (2,-3) and B is (1,4)

{बिंदु A का निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहां AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केंद्र (2,-3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं}

year 2012 of 3 marks

Ans. Coordinate geometry Let the co-ordinates of a point A be $(x_{1},y_{1})$

Now, $(x,y)=\left ( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right )$

$\Rightarrow (2,-3)=\left ( \frac{x_{1}+1}{2} \right ),\left ( \frac{y_{1}+4}{2} \right )$

$\Rightarrow 2=\frac{x_{1}+1}{2}\;,\;-3=\frac{y_{1}+4}{2}$
$\Rightarrow 4=x_{1}+1\;,\;-6=y_{1}+4$
$\Rightarrow x_{1}=3\;,\;y_{1}=-10$

$\therefore (x_{1},y_{1}=3,-10)$

{ Coordinate geometry माना की बिंदु A का निर्देशांक $(x_{1},y_{1})$

अब, $(x,y)=\left ( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2} \right )$

$\Rightarrow (2,-3)=\left ( \frac{x_{1}+1}{2} \right ),\left ( \frac{y_{1}+4}{2} \right )$

$\Rightarrow 2=\frac{x_{1}+1}{2}\;,\;-3=\frac{y_{1}+4}{2}$
$\Rightarrow 4=x_{1}+1\;,\;-6=y_{1}+4$
$\Rightarrow x_{1}=3\;,\;y_{1}=-10$

$\therefore (x_{1},y_{1}=3,-10)$ }

Q10. Find the ratio in which the y-axis divides the line segment joining the points (5,-6) and (-1,-4).

{बिंदुओं (5,-6) और (-1,-4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में विभाजित करती है|}

year 2018,2014,2009 of 3 marks

Ans. Let the co-ordinates of the point is P(0,y) and ratio be k:1

Then by using section formula,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow x=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow 0=\left ( \frac{(k\times-1)+(1\times5)}{k+1} \right )$

$\Rightarrow 0=-k+5$

$\Rightarrow k=5$

$\therefore$ Ratio= k:1 =5:1

OR

Lets the co-ordinates of the point is P(0,y) and ratio be m:n

now, $\frac{m}{n}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{0-5}{-1-0}=\frac{y-(-6)}{-4-y}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{0-5}{-1-0}$ or $\frac{m}{n}=\frac{y-(-6)}{-4-y}$

$\Rightarrow\frac{m}{n}=\frac{-5}{-1}=\frac{5}{1}$

∴ m:n=5:1

{माना की बिंदु का निर्देशांक P(0,y) और अनुपात k:1 है|

विभाजन सूत्र से,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow x=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow 0=\left ( \frac{(k\times-1)+(1\times5)}{k+1} \right )$

$\Rightarrow 0=-k+5$

$\Rightarrow k=5$

$\therefore$ अनुपात = k:1 = 5:1

OR

माना की बिंदु का निर्देशांक P(0,y) है|

अब, $\frac{m}{n}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{0-5}{-1-0}=\frac{y-(-6)}{-4-y}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{0-5}{-1-0}$ या $\frac{m}{n}=\frac{y-(-6)}{-4-y}$

$\Rightarrow\frac{m}{n}=\frac{-5}{-1}=\frac{5}{1}$

∴ m:n=5:1}

Q11. In what ratio does the point(-4,6) divides the line segment joining the points A(-6,10) and B(3,-8)

{बिंदु (-4,6), बिन्दुओ A(-6,10) और B(3,-8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है|}

year 2017 of 3 marks

Ans. Let the ratio be k:1

Then by using section formula,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow x=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow -4=\left ( \frac{(k\times3)+(1\times-6)}{k+1} \right )$

$\Rightarrow -4k-4=3k-6$

$\Rightarrow -7k=-2$

$\Rightarrow k=\frac{2}{7}$

$\therefore$ Ratio =k:1 = $\frac{2}{7}$ :1 =2:7

OR

Let the ratio be m:n

∴ $\frac{m}{n}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{-4-(-6)}{3-(-4)}=\frac{6-10}{-8-6}$

$\Rightarrow\frac{m}{n}=\frac{-4+6}{3+4}=\frac{-4}{-14}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{7}=\frac{2}{7}$

∴ m:n=2:7

{माना की अनुपात k:1 है|

विभाजन सूत्र से,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow x=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow -4=\left ( \frac{(k\times3)+(1\times-6)}{k+1} \right )$

$\Rightarrow -4k-4=3k-6$

$\Rightarrow -7k=-2$

$\Rightarrow k=\frac{2}{7}$

$\therefore$ अनुपात =k:1 = $\frac{2}{7}$ :1 =2:7

OR

माना की अनुपात m:n हैं|

∴ $\frac{m}{n}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{-4-(-6)}{3-(-4)}=\frac{6-10}{-8-6}$

$\Rightarrow\frac{m}{n}=\frac{-4+6}{3+4}=\frac{-4}{-14}$

$\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{7}=\frac{2}{7}$

∴ m:n=2:7}

Q12. If the point A(6,1), B(8,2), C(9,4) and D(p,3) are the vertices of a parallelogram, taken in order. Then find the value of p

{ यदि बिंदु A(6,1), B(8,2), C(9,4) और D(p,3) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष इसी क्रम में हो, तो p का मान ज्ञात कीजिए}

year 2011 of 3 marks

Ans. Coordinate geometry We know that diagonals of a parallelogram bisect each other

So, the coordinates of the midpoint of AC=coordinates of the midpoint of BD
$\Rightarrow$ $\left ( \frac{6+9}{2},\frac{1+4}{2} \right )=\left ( \frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2} \right )$

$\Rightarrow\left ( \frac{15}{2},\frac{5}{2} \right )=\left ( \frac{8+p}{2}, \frac{5}{2} \right )$

$\Rightarrow\left ( \frac{15}{2} \right )=\left ( \frac{8+p}{2} \right )$
$\Rightarrow 15=8+p$
$\Rightarrow p=7$

∴ p=7

{ Coordinate geometry समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं

विकर्ण AC के मध्य बिंदु के निर्देशांक=विकर्ण BD के मध्य बिंदु के निर्देशांक
$\Rightarrow$ $\left ( \frac{6+9}{2},\frac{1+4}{2} \right )=\left ( \frac{8+p}{2}, \frac{2+3}{2} \right )$

$\Rightarrow\left ( \frac{15}{2},\frac{5}{2} \right )=\left ( \frac{8+p}{2}, \frac{5}{2} \right )$

$\Rightarrow\left ( \frac{15}{2} \right )=\left ( \frac{8+p}{2} \right )$
$\Rightarrow 15=8+p$
$\Rightarrow p=7$

∴ p=7}

Q13. Find the area of triangle , the co-ordinates of whose vertices are (-5,-1), (3,-5) and (5,2)

{त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें शीर्षों के निर्देशांक (-5,-1), (3,-5) और (5,2) है|}

year 2020 of 3 marks

Ans. Area of triangle

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[(-5)(-5-2)+3\left \{ 2-(-1) \right \}+5\left \{ -1-(-5) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[(-5)(-7)+3(2+1)+5(-1+5)]$

$=\frac{1}{2}[(-5)(-7)+3(3)+5(4)]$

$=\frac{1}{2}[35+9+20]$

$=\frac{1}{2}\times64$

$=32sq. unit$

{त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[(-5)(-5-2)+3\left \{ 2-(-1) \right \}+5\left \{ -1-(-5) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[(-5)(-7)+3(2+1)+5(-1+5)]$

$=\frac{1}{2}[(-5)(-7)+3(3)+5(4)]$

$=\frac{1}{2}[35+9+20]$

$=\frac{1}{2}\times64$

$=32$ वर्ग मात्रक}

Q14. Find the area of triangle , the co-ordinates of whose vertices are (1,-1), (-4,6) and (-3,-5)

{त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें शीर्षों के निर्देशांक (1,-1), (-4,6) और (-3,-5) है|}

year 2018,2014 of 3 marks

Ans. Area of triangle

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[1\left \{ 6-(-5) \right \}+(-4)\left \{ -5-(-1) \right \}+(-3)(-1-6)]$

$=\frac{1}{2}[1(6+5)+(-4)(-5+1)+(-3)(-1-6)]$

$=\frac{1}{2}[1\times11+(-4)(-4)+(-3)(-7)]$

$=\frac{1}{2}[11+16+21]$

$=\frac{1}{2}\times48=24$ sq.unit

{त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[1\left \{ 6-(-5) \right \}+(-4)\left \{ -5-(-1) \right \}+(-3)(-1-6)]$

$=\frac{1}{2}[1(6+5)+(-4)(-5+1)+(-3)(-1-6)]$

$=\frac{1}{2}[1\times11+(-4)(-4)+(-3)(-7)]$

$=\frac{1}{2}[11+16+21]$

$=\frac{1}{2}\times48=24$ वर्ग मात्रक}

Q15. Find the area of triangle , the co-ordinates of whose vertices are P(-1.5,3), Q(6,-2) and R(-3,4)

{त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें शीर्षों के निर्देशांक P(-1.5,3), Q(6,-2) और R(-3,4) है|}

year 2016,2010 of 3 marks

Ans. Area of triangle

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[-1.5(-2-4)+6(4-3)+(-3)\left \{ 3-(-2) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[-1.5(-2-4)+6(4-3)+(-3)(3+2)]$

$=\frac{1}{2}[-1.5(-6)+6(1)+(-3)(5)]$

$=\frac{1}{2}(9+6-15)$

$=\frac{1}{2}(15-15)=0$

{त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[-1.5(-2-4)+6(4-3)+(-3)\left \{ 3-(-2) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[-1.5(-2-4)+6(4-3)+(-3)(3+2)]$

$=\frac{1}{2}[-1.5(-6)+6(1)+(-3)(5)]$

$=\frac{1}{2}(9+6-15)$

$=\frac{1}{2}(15-15)=0$ }

Q16. Find the area of triangle , the co-ordinates of whose vertices are A(5,2), B(4,7) and C(7,-4)

{त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें शीर्षों के निर्देशांक A(5,2), B(4,7) और C(7,-4) है|}

year 2009 of 3 marks

Ans. Area of triangle

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[5(7-(-4))+4(-4-2)+7(2-7)]$

$=\frac{1}{2}[5\times11+4\times-6+7\times-5]$

$=\frac{1}{2}[55-24-35]$

$=\frac{1}{2}(-4)=-2$

Area will always positive
∴ Area=2 sq.unit

{त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[5(7-(-4))+4(-4-2)+7(2-7)]$

$=\frac{1}{2}[5\times11+4\times-6+7\times-5]$

$=\frac{1}{2}[55-24-35]$

$=\frac{1}{2}(-4)=-2$

क्षेत्र हमेशा सकारात्मक रहेगा
∴ क्षेत्र=2 वर्ग मात्रक}

Q17. Find the value of k for which the following points are collinear: (8,1), (k,-4), (2,-5)

{k का मान ज्ञात कीजिए ताकि निम्न तीनों बिंदुएं संरेखी हो (8,1), (k,-4), (2,-5)}

year 2019 of 3 marks

Ans. If the given points are collinear then the area of triangle formed by them must be 0

i.e., $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]=0$

$\Rightarrow \frac{1}{2}[8(-4-(-5))+k(-5-1)+2(1-(-4))]=0$

$\Rightarrow [8(-4+5)+k(-5-1)+2(1+4)]=0$

$\Rightarrow[8(1)+k(-6)+2(5)]=0$

$\Rightarrow[8-6k+10]=0$

$\Rightarrow -6k=-18$

$\Rightarrow k=3$

{तीनों बिंदुएं संरेखी हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होगा|

अर्थात्, $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]=0$

$\Rightarrow \frac{1}{2}[8(-4-(-5))+k(-5-1)+2(1-(-4))]=0$

$\Rightarrow [8(-4+5)+k(-5-1)+2(1+4)]=0$

$\Rightarrow[8(1)+k(-6)+2(5)]=0$

$\Rightarrow[8-6k+10]=0$

$\Rightarrow -6k=-18$

$\Rightarrow k=3$ }

Q18. Find the value of k for which the following points are collinear: (7,-2), (5,1), (3,k)

{k का मान ज्ञात कीजिए ताकि निम्न तीनों बिंदुएं संरेखी हो (7,-2), (5,1), (3,k)}

year 2017,2015 of 3 marks

Ans. If the given points are collinear then the area of triangle formed by them must be 0

i.e., $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]=0$

$\Rightarrow \frac{1}{2}[7(1-k)+5(k-(-2))+3(-2-1)]=0$

$\Rightarrow [7(1-k)+5(k+2)+3(-2-1)]=0$

$\Rightarrow7-7k+5k+10-6-3=0$

$\Rightarrow -2k=-8$

$\Rightarrow k=4$

{तीनों बिंदुएं संरेखी हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होगा|

अर्थात्, $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]=0$

$\Rightarrow \frac{1}{2}[7(1-k)+5(k-(-2))+3(-2-1)]=0$

$\Rightarrow [7(1-k)+5(k+2)+3(-2-1)]=0$

$\Rightarrow7-7k+5k+10-6-3=0$

$\Rightarrow -2k=-8$

$\Rightarrow k=4$ }

Q19. Find the value of k for which the following points are collinear: A(2,3), B(4,k), and C(6,-3)

{k का मान ज्ञात कीजिए ताकि निम्न तीनों बिंदुएं संरेखी हो A(2,3), B(4,k), और C(6,-3)}

year 2013 of 3 marks

Ans. If the given points are collinear then the area of triangle formed by them must be 0

i.e., $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]=0$

$\Rightarrow \frac{1}{2}[2(k-(-3))+4(-3-3)+6(3-k)]=0$

$\Rightarrow [2(k+3)+4(-3-3)+6(3-k)]=0$

$\Rightarrow 2k+6-24+18-6k = 0$

$\Rightarrow -4k = 0$

$\Rightarrow k = 0$

∴ k = 0

{तीनों बिंदुएं संरेखी हो तो त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होगा|

अर्थात्, $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]=0$

$\Rightarrow \frac{1}{2}[2(k-(-3))+4(-3-3)+6(3-k)]=0$

$\Rightarrow [2(k+3)+4(-3-3)+6(3-k)]=0$

$\Rightarrow 2k+6-24+18-6k = 0$

$\Rightarrow -4k = 0$

$\Rightarrow k = 0$

∴ k = 0}

Q20. Find the area of rhombus if its vertex are (3,0), (4,-5), (-1,4) and (-2,-1) taken in order.

{एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष इसी क्रम में (3,0), (4,-5), (-1,4) और (-2,-1) हैं|}

year 2020 of 3 marks

Ans. Coordinate geometry $AC=\sqrt{(-1-3)^2+(4-0)^2}$
$\Rightarrow AC=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

And, $BD=\sqrt{(-2-4)^2+[-1-(-5)]^2}$
$\Rightarrow BD=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

Now, area of rhombus ABCD= $\frac{1}{2}$ ×product of diagonals
$=\frac{1}{2}\times AC\times BD$

$=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\times2\sqrt{13}$
$=4\sqrt{26}$ square unit

$\therefore$ Area of rhombus ABCD $=4\sqrt{26}$ square unit

{

Coordinate geometry $AC=\sqrt{(-1-3)^2+(4-0)^2}$
$\Rightarrow AC=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

और, $BD=\sqrt{(-2-4)^2+[-1-(-5)]^2}$
$\Rightarrow BD=\sqrt{36+16}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

अब, समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल= $\frac{1}{2}$ ×विकर्णों का गुणनफल
$=\frac{1}{2}\times AC\times BD$

$=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\times2\sqrt{13}$
$=4\sqrt{26}$ वर्ग मात्रक

$\therefore$ समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल $=4\sqrt{26}$ वर्ग मात्रक}

Q21. If A and B are (-2,-2) and (2,-4) respectively, find the coordinate of P such that $AP=\frac{3}{7}AB$ and P lies on the line segment AB.

{यदि A और B क्रमशः (-2,-2) और (2,-4) हैं तो बिंदु P का निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि $AP=\frac{3}{7}AB$ हो और P रेखाखंड AB पर स्थित हो|}

year 2016, 2010 of 3 marks

Ans. $AP=\frac{3}{7}AB$

$\Rightarrow \frac{AP}{AB}=\frac{3}{7}$
$\therefore AP=3k\; ,\; AB=7k$
$\therefore PB=AB-AP=7k-3k=4k$

$\therefore m:n=AP:PB=3k:4k=3:4$

Using section formula,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{(3\times2)+(4\times-2)}{3+4}\: ,\: \frac{(3\times-4)+(4\times-2)}{3+4} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{6-8}{7}\: ,\: \frac{-12-8}{7} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{-2}{7}\: ,\: \frac{-20}{7} \right )$

$\therefore$ Coordinate of P $=\left ( \frac{-2}{7}\: ,\: \frac{-20}{7} \right )$

{ $AP=\frac{3}{7}AB$

$\Rightarrow \frac{AP}{AB}=\frac{3}{7}$
$\therefore AP=3k\; ,\; AB=7k$
$\therefore PB=AB-AP=7k-3k=4k$

$\therefore m:n=AP:PB=3k:4k=3:4$

विभाजन सूत्र से,
$(x,y)=\left ( \frac{m_1x_2+m_2x_1}{m_1+m_2},\frac{m_1y_2+m_2y_1}{m_1+m_2} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{(3\times2)+(4\times-2)}{3+4}\: ,\: \frac{(3\times-4)+(4\times-2)}{3+4} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{6-8}{7}\: ,\: \frac{-12-8}{7} \right )$

$\Rightarrow (x,y)=\left ( \frac{-2}{7}\: ,\: \frac{-20}{7} \right )$

$\therefore$ P का निर्देशांक $=\left ( \frac{-2}{7}\: ,\: \frac{-20}{7} \right )$ }

Q22. If the distances of P(x,y) from points A(3,6) and B(-3,4) are equal, prove that 3x+y=5.

{यदि P(x,y) की दूरी बिंदु A(3,6) और B(-3,4) से समान है, तो सिद्ध कीजिए कि 3x+y=5}

year 2015 of 2 marks

Ans. Given:- AP=PB
Squaring both side,
$AP^{2}=PB^{2}$
$(x-3)^2+(y-6)^2=(-3-x)^2+(4-y)^2$
$\Rightarrow x^2+9-6x+y^2+36-12y=$
$9+x^2+6x+16+y^2-8y$
$\Rightarrow -6x+36-12y=6x+16-8y$
$\Rightarrow -12x-4y+20=0$
$\Rightarrow -4(3x+y-5)=0$
$\Rightarrow 3x+y-5=0$
$\Rightarrow 3x+y=5$

{दिया हुआ है:- AP=PB
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$AP^{2}=PB^{2}$
$(x-3)^2+(y-6)^2=(-3-x)^2+(4-y)^2$
$\Rightarrow x^2+9-6x+y^2+36-12y=$
$9+x^2+6x+16+y^2-8y$
$\Rightarrow -6x+36-12y=6x+16-8y$
$\Rightarrow -12x-4y+20=0$
$\Rightarrow -4(3x+y-5)=0$
$\Rightarrow 3x+y-5=0$
$\Rightarrow 3x+y=5$ }

Q23. If A(-5,7), B(-4,-5), C(-1,-6) and D(4,5) are the vertices of a quadrilateral, find the area of the quadrilateral ABCD.

{यदि A(-5,7), B(-4,-5), C(-1,-6) और D(4,5) एक चतुर्भुज ABCD के शीर्ष हैं, तो इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|}

year 2012 of 3 marks

Ans. Coordinate geometry ar(ΔABD) $=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[-5(-5-5)+(-4)(5-7)+4\left \{ 7-(-5) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[(-5\times-10)+(-4\times-2)+(4\times12)]$

$=\frac{1}{2}(50+8+48)$

$=\frac{1}{2}\times106=53$ square units.

Now, ar(ΔBCD) $=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[-4(-6-5)+(-1)\left \{ 5-(-5) \right \}+4\left \{ -5-(-6) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[(-4\times-11)+(-1\times10)+(4\times1)]$

$=\frac{1}{2}(44-10+4)$

$=\frac{1}{2}\times38=19$ square units

$\therefore$ Area of the quadrilateral ABCD =ar(ΔABD)+ar(ΔBCD)
=53+19=72 square units

{ Coordinate geometry ar(ΔABD) $=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[-5(-5-5)+(-4)(5-7)+4\left \{ 7-(-5) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[(-5\times-10)+(-4\times-2)+(4\times12)]$

$=\frac{1}{2}(50+8+48)$

$=\frac{1}{2}\times106=53$ वर्ग मात्रक

अब, ar(ΔBCD) $=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$=\frac{1}{2}[-4(-6-5)+(-1)\left \{ 5-(-5) \right \}+4\left \{ -5-(-6) \right \}]$

$=\frac{1}{2}[(-4\times-11)+(-1\times10)+(4\times1)]$

$=\frac{1}{2}(44-10+4)$

$=\frac{1}{2}\times38=19$ वर्ग मात्रक

$\therefore$ चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल =ar(ΔABD)+ar(ΔBCD)
=53+19=72 वर्ग मात्रक}

Q24. Find out a relation between x and y such that the point (x,y) is equidistant from the points (3,6) and (-3,-4).

{x और y में एक ऐसा संबंध ज्ञात कीजिए कि बिंदु (x,y) बिंदुओं (3,6) और (-3,-4) से समदूरस्थ हो|}

year 2011 of 2 marks

Ans. Given:- AP=PB
Squaring both side,
$AP^{2}=PB^{2}$
$\Rightarrow (x-3)^2+(y-6)^2=(-3-x)^2+(-4-y)^2$
$\Rightarrow x^2+9-6x+y^2+36-12y=$
$9+x^2+6x+16+y^2+8y$
$\Rightarrow -6x+36-12y=6x+16+8y$
$\Rightarrow -12x-20y+20=0$
$\Rightarrow -4(3x+5y-5)=0$
$\Rightarrow 3x+5y-5=0$

{दिया हुआ है:- AP=PB
दोनों तरफ वर्ग करने पर,
$AP^{2}=PB^{2}$
$\Rightarrow (x-3)^2+(y-6)^2=(-3-x)^2+(-4-y)^2$
$\Rightarrow x^2+9-6x+y^2+36-12y=$
$9+x^2+6x+16+y^2+8y$
$\Rightarrow -6x+36-12y=6x+16+8y$
$\Rightarrow -12x-20y+20=0$
$\Rightarrow -4(3x+5y-5)=0$
$\Rightarrow 3x+5y-5=0$ }

Q25. Find out the area of triangle formed by joining the midpoint of the sides of the triangle ABC whose vertices are (0,-1), (2,1) and (0,3). Find the ratio of the area of the triangle ABC formed to the area of the given triangle.

{शीर्षों (0,-1), (2,1) और (0,3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए| इस क्षेत्रफल का दिए हुए त्रिभुज के क्षेत्रफल के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए|}

year 2011 of 3 marks

Ans.Coordinate of P $=\left ( \frac{2+0}{2}\, ,\, \frac{1+3}{2} \right )=(1,2)$