Areas related to circles (वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल)

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Q1. Write the area of a semicircle of radius r.

{r त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल लिखिए}

year 2010 of 1 marks

Ans. Area of semicircle $=\frac{1}{2}\pi r^{2}$

{अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\pi r^{2}$ }

Q2. Write the area of a semicircle of radius r=7cm.

{r=7cm त्रिज्या वाले अर्धवृत्त की क्षेत्रफल लिखिए}

year 2020 of 1 marks

Ans. Area of semicircle $=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{22}{7}\times7\times7=77cm^{2}$

{अर्धवृत्त की क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{22}{7}\times7\times7=77cm^{2}$ }

Q3. Write the area of a semicircle of radius r=14cm.

{ r=14cm त्रिज्या वाले अर्धवृत्त की क्षेत्रफल लिखिए}

year 2012 of 1 marks

Ans. Area of semicircle $=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{22}{7}\times14\times14=308cm^{2}$

{अर्धवृत्त की क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}\pi r^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{22}{7}\times14\times14=308cm^{2}$ }

Q4. Write the area of a circle of radius r

{ r त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल लिखिए}

year 2019 of 1 marks

Ans. Area of circle $=\pi r^{2}$

{वृत्त का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$ }

Q5. Write the perimeter of a circle of diameter d.

{व्यास d वाले वृत्त का परिमाप लिखिए}

year 2018 of 1 marks

Ans. Perimeter of a circle =πd

{वृत्त का परिमाप =πd}

Q6. Write the perimeter of a circle of radius r.

{r त्रिज्या वाले वृत्त का परिमाप लिखिए}

year 2014 of 1 marks

Ans. Perimeter of a circle =2πr

{वृत्त का परिमाप =2πr}

Q7. Write the perimeter of a semicircle of radius r.

{r त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का परिमाप लिखिए}

year 2011 of 1 marks

Ans. Perimeter of a semicircle
$\pi r+2r\; or\; r(\pi+2)\$

{अर्धवृत्त का परिमाप
$\pi r+2r\$ या $r(\pi+2)$ }

Q8. If the perimeter of semicircle is 36cm, then find its diameter.

{यदि एक अर्धवृत्त का परिमाप 36cm है, तो उसका व्यास ज्ञात कीजिए}

year 2015 of 1 marks

Ans. $r(\pi+2)=36cm$
$\Rightarrow r\left ( \frac{22}{7}+2 \right )=36cm$

$\Rightarrow r\left ( \frac{22+14}{7} \right )=36cm$
$\Rightarrow r=36\times\frac{7}{36}=7cm$

$\therefore d=2r=2\times7=14cm$

Q9. If the perimeter and the area of circle are numerically equal, then write the radius of the circle.

{यदि एक वृत्त के परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है तो वृत्त का त्रिज्या लिखिए}

year 2017, 2013, 2009 of 1 marks

Ans. Perimeter of circle =area of circle
$\Rightarrow 2\pi r=\pi r^{2}$
$\Rightarrow r=2$
$\therefore r=2$

{वृत्त के परिमाप =वृत्त के क्षेत्रफल
$\Rightarrow 2\pi r=\pi r^{2}$
$\Rightarrow r=2$
$\therefore r=2$ }

Q10. Find the area of quadrant of a circle whose circumference is 22cm.

{एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 22cm है}

year 2019, 2017 of 3 marks

Ans. Areas related to circles Given:- Circumference of circle =22cm
$\Rightarrow 2\pi r=22$
$\Rightarrow2\times\frac{22}{7}\times r=22$
$\Rightarrow r=22\times\frac{7}{22}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{2}cm$

∴ Area of quadrant OACB $=\frac{1}{4}\pi r^{2}=\frac{1}{4}\times\frac{22}{7}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}=\frac{77}{8}cm^{2}$

{ Areas related to circles दिया हुआ है:- वृत्त के परिधि =22cm
$\Rightarrow 2\pi r=22$
$\Rightarrow2\times\frac{22}{7}\times r=22$
$\Rightarrow r=22\times\frac{7}{22}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{2}cm$

∴ चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4}\pi r^{2}=\frac{1}{4}\times\frac{22}{7}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2}=\frac{77}{8}cm^{2}$ }

Q11. Find the area of sector of a circle with radius 6cm if angle of the sector is 60°.

{6cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 60° है}

year 2020, 2018, 2015, 2013 of 3 marks

Ans. Areas related to circles Given:- r= 6cm and θ=60°

∴ Area of sector OPAQ
$=\frac{\pi r^{2}\theta}{360\degree}=\frac{22\times6^{2}\times60}{7\times360}=\frac{132}{7}$

$=\frac{132}{7}cm^{3}$

{ Areas related to circles दिया हुआ है:- r= 6cm और θ=60°

∴ त्रिज्यखंड OPAQ का क्षेत्रफल
$=\frac{\pi r^{2}\theta}{360\degree}=\frac{22\times6^{2}\times60}{7\times360}=\frac{132}{7}$

$=\frac{132}{7}cm^{3}$ }

Q12. In a circle of radius 21 cm, an arc subtends an angle of 60° at the centre. Find (a) the length of arc, (b) area of the sector formed by the arc.

{त्रिज्या 21cm वाले वृत्त का एक चाप केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करता है। ज्ञात कीजिए (a) चाप की लंबाई (b) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल}

year 2014 of 3 marks

Ans. Areas related to circles

Given:- r= 21cm and θ=60°

(a) the length of arc PQ $=\frac{2\pi r\theta}{360}=\frac{2\times22\times21\times60}{7\times360}=22$ $=22cm$

(b) area of the sector OPAQ formed by the arc PQ $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times21\times21\times60}{7\times360}=231$ $=231cm^{2}$

{ Areas related to circles दिया हुआ है:- r= 21cm और θ=60°

(a) चाप PQ की लंबाई $=\frac{2\pi r\theta}{360}=\frac{2\times22\times21\times60}{7\times360}=22$ $=22cm$

(b) चाप PQ द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड OPAQ का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times21\times21\times60}{7\times360}=231$ $=231cm^{2}$ }

Q13. A chord of a circle of radius 10cm subtends a right angle at the centre of the circle. Find out the area of corresponding minor sector of circle.

{ 10cm त्रिज्या वाले एक वृत्त का कोई जीवा केंद्र पर एक समकोण अंतरित करती है। संगत लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए}

year 2009 of 3 marks

Ans. Areas related to circles Given:- r=10cm and θ=90°

∴ Area of minor sector of circle OPAQ $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times10\times10\times90}{7\times360}=78.57cm^{2}$

{ Areas related to circles दिया हुआ है:- r=10cm and θ=90°

∴ लघु त्रिज्यखंड OPAQ का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times10\times10\times90}{7\times360}=78.57cm^{2}$ }

Q14. Find out the area of the sector of a circle having radius 4cm and of angle 30°. Also, find out the area of the corresponding major sector

{त्रिज्या 4cm वाले एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 30° है| साथ ही संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

year 2011 of 3 marks

Areas related to circles

Ans.Given:- r=4cm and θ=30°

Area of the minor sector OPAQ $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times4\times4\times30}{7\times360}=4.19cm^{2}$

∴ The area of the major sector OPBQ = area of circle – area of minor sector OPAQ
$=\left ( \frac{22}{7}\times4^{2} \right )-4.19=50.28-4.19$ $=46.09cm^{2}$

{ Areas related to circles दिया हुआ है:- r=4cm and θ=30°

लघु त्रिज्यखंड OPAQ का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times4\times4\times30}{7\times360}=4.19cm^{2}$

∴ दीर्घ त्रिज्यखंड OPBQ का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु त्रिज्यखंड OPAQ का क्षेत्रफल
$=\left ( \frac{22}{7}\times4^{2} \right )-4.19=50.28-4.19$ $=46.09cm^{2}$ }

Q15. The length of the minute hand of a clock is equal to 14cm. Find out the area swept by the minute hand in 5 minutes.

{एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14cm है। उसके द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए}

year 2012 of 3 marks

Ans. Angle formed in 60 minutes =360°

So, angle formed in 5 minutes
$=\frac{360}{60}\times5=30\degree$

Here, radius of circle =length of the minute hand of a clock =14cm

∴ The area swept by the minute hand in 5 minutes
$=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times14\times14\times30}{7\times360}=\frac{154}{3}$

$=\frac{154}{3}cm^{2}$

{60 मिनट में बना केंद्रीय कोण =360°

तो 5 मिनट में बना केंद्रीय कोण
$=\frac{360}{60}\times5=30\degree$

चूँकि वृत्त की त्रिज्या =घड़ी की सुई की लम्बाई =14cm

∴ 5 मिनट में सुई द्वारा रचित क्षेत्रफल
$=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{22\times14\times14\times30}{7\times360}=\frac{154}{3}$

$=\frac{154}{3}cm^{2}$ }

Q16. A chord of a circle of radius 15cm subtends an angle of 60° at the centre of the circle. Find out the area of the corresponding minor segment of the circle.(using π=3.14 and $\sqrt{3}=1.73$ )

{15cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को कोई जीवा केंद्र पर 60° का कोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए}

( π=3.14 और $\sqrt{3}=1.73$ का प्रयोग कीजिए}

year 2010 of 3 marks

Ans. Areas related to circles Area of sector OPAQ $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{3.14\times15\times15\times60}{360}=117.75cm^{2}$

Now, in ΔOPQ, draw OL⊥PQ Areas related to circles Now, OP=OQ (radii)
OL=OL (common)
∠OLP=∠OLQ=90°

∴ By R.H.S criterion
ΔOLP≅ΔOLQ

By, CPCT
PL=LQ
and ∠POL=∠QOL

$\therefore \angle POL=\frac{60\degree}{2}=30\degree$

In ΔPOL,
$sin30\degree=\frac{PL}{OP}$

$\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{PL}{15}$

$\Rightarrow\ PL=\frac{15}{2}cm$

$\because$ PL=LQ
PQ=2×PL= $2\times\frac{15}{2}$ =15cm

Now, In ΔPOL,

$cos30\degree=\frac{OL}{OP}$

$\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{OL}{15}$

$\Rightarrow OL=\frac{1.73}{2}\times15=12.975cm$

∴ area of ΔOPQ
$=\frac{1}{2}\times PQ\times OL=\frac{1}{2}\times 15\times 12.975$
$=97.31cm^{2}$

Area of minor segment PAQ = Area of sector OPAQ – Area of ΔOPQ
$=117.75-97.31=20.44cm^{2}$

{ Areas related to circles

त्रिज्यखंड OPAQ का क्षेत्रफल $=\frac{\pi r^{2}\theta}{360}=\frac{3.14\times15\times15\times60}{360}=117.75cm^{2}$

अब, ΔOPQ में, OL⊥PQ खीचिए Areas related to circles अब, OP=OQ (त्रिज्या)
OL=OL (उभयनिष्ठ)
∠OLP=∠OLQ=90°

∴ R.H.S कसौटी से,
ΔOLP≅ΔOLQ

CPCT से,
PL=LQ
और ∠POL=∠QOL

$\therefore \angle POL=\frac{60\degree}{2}=30\degree$

ΔPOL में,
$sin30\degree=\frac{PL}{OP}$

$\Rightarrow\frac{1}{2}=\frac{PL}{15}$

$\Rightarrow\ PL=\frac{15}{2}cm$

$\because$ PL=LQ
PQ=2×PL= $2\times\frac{15}{2}$ =15cm

अब, ΔPOL में,

$cos30\degree=\frac{OL}{OP}$

$\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{OL}{15}$

$\Rightarrow OL=\frac{1.73}{2}\times15=12.975cm$

∴ ΔOPQ का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}\times PQ\times OL=\frac{1}{2}\times 15\times 12.975$
$=97.31cm^{2}$

लघु वृत्तखंड PAQ का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OPAQ का क्षेत्रफल – ΔOPQ का क्षेत्रफल
$=117.75-97.31=20.44cm^{2}$ }

Q17. The wheels of a car are of diameter 80cm each. How many complete revolutions does each wheel make in 10 minutes when the car is travelling at the speed of 66 km/hour?

{किसी कार के प्रत्येक पहिया का व्यास 80cm है। यदि यह कार 66किमी.प्रति घंटे की चाल से चल रही है तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाती है?}

year 2016 of 3 marks

Ans. The diameter of each wheels of a car =80cm

So, radius(r) $=\frac{d}{2}=\frac{80}{2}=40cm$

Now, The car is travelling at the speed of 66 km/hour
means, $\frac{66\times100000}{60}=110000cm\setminus min$

∴ distance travelled by car in 10 minutes =110000×10 =1100000cm

Now, the circumference of wheel $=2\pi r=\left ( 2\times\frac{22}{7}\times40 \right )cm$

So, revolutions does each wheel make in 10 minutes $=\frac{distance\; travelled\;by\; car\; in\, 10 min}{circumference \;of \; wheel}$

$=\frac{1100000\times7}{2\times22\times40}=\frac{7700000}{1760}=4375$

∴ Revolutions does each wheel make in 10 minutes =4375

{चूँकि कार के प्रत्येक पहिए का व्यास d=80cm है

तब इसकी त्रिज्या $=\frac{d}{2}=\frac{80}{2}=40cm$

अब, कार 66किमी.प्रति घंटे की चाल से चल रही है
अर्थात, $\frac{66\times100000}{60}=110000cm\setminus min$

∴ 10 मिनट में कार द्वारा तय की गई दुरी =110000×10 =1100000cm

अब, पहिए का परिधि $=2\pi r=\left ( 2\times\frac{22}{7}\times40 \right )cm$

तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया चक्कर लगाती है =10 मिनट में कार द्वारा तय की गई दुरी ÷ पहिए का परिधि $=\frac{1100000\times7}{2\times22\times40}=\frac{7700000}{1760}=4375$

∴ 10 मिनट में प्रत्येक पहिया चक्कर लगाती है =4375}

Q18. Find the area of the shaded region in figure, where ABCD is a square of side 14cm.

{आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ ABCD भुजा 14cm का एक वर्ग है|}

Areas related to circles

year 2020, 2018, 2011 of 3 marks

Ans. Side of square ABCD=14cm.
So, diameter of each circle $=\frac{14}{2}=7cm$
$\therefore$ Radius(r) of each circle $=\frac{7}{2}cm$

Now, area of shaded region
$=$ area of square ABCD $-$ (4×area of a circle)
$=14^2-\left ( 4\times\frac{22}{7}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2} \right )$
$=196-154$
$=42cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region $=42cm^2$

{वर्ग ABCD की भुजा=14cm
तो, प्रत्येक वृत्त का व्यास $=\frac{14}{2}=7cm$
$\therefore$ प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या(r) $=\frac{7}{2}cm$

अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ वर्ग ABCD का क्षेत्रफल $-$ (4×एक वृत्त का क्षेत्रफल)
$=14^2-\left ( 4\times\frac{22}{7}\times\frac{7}{2}\times\frac{7}{2} \right )$
$=196-154$
$=42cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=42cm^2$ }

Q19. Find the area of the shaded region in figure, if the radii of the two concentric circles with centre O are 7cm and 14cm respectively and ∠AOC=40°.

{आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि केंद्र O वाले दोनों संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7cm और 14cm हैं तथा ∠AOC=40° हैं|}

Areas related to circles

year 2019 of 3 marks

Ans. Let OB=r=7cm
and OA=R=14cm

Now, area of the shaded region
$=$ area of sector OAC $-$ area of sector OBD
$=\pi R^2\frac{\theta}{360}-\pi r^2\frac{\theta}{360}$

$=\left ( \frac{22}{7}\times14^2\times\frac{40}{360} \right )-\left (\frac{22}{7}\times7^2\times\frac{40}{360} \right )$

$=\frac{22}{7}\times\frac{40}{360}\times(14^2-7^2)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times(196-49)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times147$

$=\frac{154}{3}cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region $=\frac{154}{3}cm^2$

{माना OB=r=7cm
और OA=R=14cm

अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल $-$ त्रिज्यखंड OBD का क्षेत्रफल
$=\pi R^2\frac{\theta}{360}-\pi r^2\frac{\theta}{360}$

$=\left ( \frac{22}{7}\times14^2\times\frac{40}{360} \right )-\left (\frac{22}{7}\times7^2\times\frac{40}{360} \right )$

$=\frac{22}{7}\times\frac{40}{360}\times(14^2-7^2)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times(196-49)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times147$

$=\frac{154}{3}cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=\frac{154}{3}cm^2$ }

Q20. Find the area of the shaded region in figure, if the radii of the two concentric circles with centre O are 7cm and 14cm respectively and ∠AOC=40°.

Areas related to circles

year 2009 of 3 marks

Ans. Let OB=r=7cm
and OC=R=14cm

Now, area of the shaded region
$=$ area of sector OAC $-$ area of sector OBD
$=\pi R^2\frac{\theta}{360}-\pi r^2\frac{\theta}{360}$

$=\left ( \frac{22}{7}\times14^2\times\frac{40}{360} \right )-\left (\frac{22}{7}\times7^2\times\frac{40}{360} \right )$

$=\frac{22}{7}\times\frac{40}{360}\times(14^2-7^2)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times(196-49)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times147$

$=\frac{154}{3}cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region $=\frac{154}{3}cm^2$

{माना OB=r=7cm
और OC=R=14cm

$=\left ( \frac{22}{7}\times14^2\times\frac{40}{360} \right )-\left (\frac{22}{7}\times7^2\times\frac{40}{360} \right )$

$=\frac{22}{7}\times\frac{40}{360}\times(14^2-7^2)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times(196-49)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{9}\times147$

$=\frac{154}{3}cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=\frac{154}{3}cm^2$ }

Q21. In the given figure, a square OABC is inscribed in a quadrant OPBQ. If OA=20cm, find the area of the shaded region.
$[\pi=3.14]$

{दी गई आकृति में एक चतुर्थांश OPBQ के अंतर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है| यदि OA=20cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|
$[\pi=3.14]$ } Areas related to circles

year 2017, 2010 of 3 marks

Ans. Join OBRadius of quadrant=OB
$=\sqrt{OA^2+AB^2}$
$=\sqrt{20^2+20^2}$
$=\sqrt{800}=20\sqrt{2}cm$

Now, area of the shaded region
$=$ area of quadrant OQP $-$ area of square OCBA
$=\frac{1}{4}\pi r^2-OA^2$

$=\left ( \frac{1}{4}\times3.14\times(20\sqrt{2})^2\right )-20^2$

$=\left ( \frac{1}{4}\times3.14\times800\right )-400$

$=628-400=228cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region $=228cm^2$

{OB को मिलाये चतुर्थांश की त्रिज्या=OB
$=\sqrt{OA^2+AB^2}$
$=\sqrt{20^2+20^2}$
$=\sqrt{800}=20\sqrt{2}cm$

अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ चतुर्थांश OQP का क्षेत्रफल $-$ वर्ग OCBA का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{4}\pi r^2-OA^2$

$=\left ( \frac{1}{4}\times3.14\times(20\sqrt{2})^2\right )-20^2$

$=\left ( \frac{1}{4}\times3.14\times800\right )-400$

$=628-400=228cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=228cm^2$ }

Q22. Find the area of the shaded region in the given figure, where a circular arc of radius 6cm has been drawn with vertex O of an equilateral triangle OAB of side 12cm as centre.

{आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जहाँ भुजा 12cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केंद्र मानकर 6cm त्रिज्या वाला एक वृत्तीय चाप खींचा गया है|}

Areas related to circles

year 2016 of 3 marks

Ans.

Areas related to circles Triangle is equilateral and angle of equilateral triangle=60°.

Now, area of the shaded region
$=$ (area of circle $-$ area of minor sector OCED) $+$ area of equilateral ΔOAB
$=\left \{ (\pi r^2)-\left ( \pi r^2\frac{\theta}{360} \right ) \right \}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{4} \times(side)^2\right )$

$=\left \{ \left ( \frac{22}{7}\times6^2 \right )-\left (\frac{22}{7}\times6^2\times\frac{60}{360} \right ) \right \}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{4}\times(12)^2 \right )$

$=\left \{ \frac{22}{7}\times6^2\times\left (1-\frac{60}{360} \right ) \right \}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{4}\times144 \right )$

$=\left \{ \frac{22}{7}\times6^2\times\left (1-\frac{1}{6} \right ) \right \}+36\sqrt{3}$

$=\left ( \frac{22}{7}\times36\times\frac{5}{6} \right )+36\sqrt{3}$

$=\frac{660}{7}+36\sqrt{3}$

$\therefore$ Area of the shaded region $=\left ( \frac{660}{7}+36\sqrt{3} \right )cm^2$

{ Areas related to circles त्रिभुज समबाहु है और समबाहु त्रिभुज का कोण=60°

अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ (वृत्त का क्षेत्रफल $-$ लघु त्रिज्यखंड OCED का क्षेत्रफल) $+$ समबाहु ΔOAB का क्षेत्रफल
$=\left \{ (\pi r^2)-\left ( \pi r^2\frac{\theta}{360} \right ) \right \}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{4} \times(side)^2\right )$

$=\left \{ \left ( \frac{22}{7}\times6^2 \right )-\left (\frac{22}{7}\times6^2\times\frac{60}{360} \right ) \right \}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{4}\times(12)^2 \right )$

$=\left \{ \frac{22}{7}\times6^2\times\left (1-\frac{60}{360} \right ) \right \}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{4}\times144 \right )$

$=\left \{ \frac{22}{7}\times6^2\times\left (1-\frac{1}{6} \right ) \right \}+36\sqrt{3}$

$=\left ( \frac{22}{7}\times36\times\frac{5}{6} \right )+36\sqrt{3}$

$=\frac{660}{7}+36\sqrt{3}$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=\left ( \frac{660}{7}+36\sqrt{3} \right )cm^2$ }

Q23. AB and CD are respectively arcs of two concentric circles of radii 21cm and 7cm and centre O. If ∠AOB=30°, find the area of the shaded region.

(AB और CD केंद्र O तथा त्रिज्याओं 21cm और 7cm वाले दो संकेंद्रित वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं| यदि ∠AOB=30° है तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|}

Areas related to circles

year 2015 of 3 marks

Ans. Let BO=R=21cm
and CO=r=7cm

Now, area of the shaded region
$=$ area of sector AOB $-$ area of sector COD
$=\pi R^2\frac{\theta}{360}-\pi r^2\frac{\theta}{360}$

$=\left ( \frac{22}{7}\times21^2\times\frac{30}{360} \right )-\left ( \frac{22}{7} \times7^2\times\frac{30}{360}\right )$

$=\frac{22}{7}\times\frac{30}{360}\times(21^2-7^2)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{12}\times(441-49)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{12}\times392$

$=\frac{308}{3}cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region $=\frac{308}{3}cm^2$

{माना BO=R=21cm
और CO=r=7cm

अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ त्रिज्यखंड AOB का क्षेत्रफल $-$ त्रिज्यखंड COD का क्षेत्रफल
$=\pi R^2\frac{\theta}{360}-\pi r^2\frac{\theta}{360}$

$=\left ( \frac{22}{7}\times21^2\times\frac{30}{360} \right )-\left ( \frac{22}{7} \times7^2\times\frac{30}{360}\right )$

$=\frac{22}{7}\times\frac{30}{360}\times(21^2-7^2)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{12}\times(441-49)$

$=\frac{22}{7}\times\frac{1}{12}\times392$

$=\frac{308}{3}cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=\frac{308}{3}cm^2$ }

Q24. Find the area of the shaded region in figure, if ABCD is a square of side 14cm and APD and BPC are two semicircles.

{आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि ABCD भुजा 14cm का एक वर्ग है और APD और BPC दो अर्धवृत्त हैं|}

Areas related to circles

year 2014, 2012 of 3 marks

Ans. Side of square=14cm
So, radius(r) of circle $=\frac{14}{2}=7cm$

Now, area of shaded region
$=$ area of square ABCD $-$ (2×area of semicircles)
$=side^2-\left ( 2\times\frac{\pi r^2}{2} \right )$
$=14^2-( \pi r^2 )$
$=196-\left ( \frac{22}{7}\times7^2 \right )$
$=196-154=42$
$=42cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region $=42cm^2$

{वर्ग की भुजा=14cm
तो, वृत्त की त्रिज्या(r) $=\frac{14}{2}=7cm$

अब, छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ वर्ग ABCD का क्षेत्रफल $-$ (2×अर्धवृत्त का क्षेत्रफल)
$=side^2-\left ( 2\times\frac{\pi r^2}{2} \right )$
$=14^2-( \pi r^2 )$
$=196-\left ( \frac{22}{7}\times7^2 \right )$
$=196-154=42$
$=42cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=42cm^2$ }

Q25. If figure AB and CD are two diameter of a circle(with centre O) perpendicular to each other and OD is the diameter of the smaller circle. If OA=7cm, find the area of the shaded region.

{आकृति में AB और CD केंद्र O वाले एक वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास है तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है| यदि OA=7cm हैं, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए|}

Areas related to circles

year 2013 of 3 marks

Ans. Radius of big circle=R=7cm
and radius of small circle=r $=\frac{7}{2}cm$

Now, area of small circle of diameter OD
$=\pi r^2$
$=\frac{22}{7}\times\left ( \frac{7}{2} \right )^2$

$=\frac{22}{7}\times\frac{49}{4}=\frac{77}{2}$
$=38.5cm^2$

And, (area of segment BPC $+$ area of segment CQA)
$=$ area of semicircle BCA $-$ area of triangle BCA
$=\left ( \frac{1}{2}\pi R^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times b\times h \right )$

$=\left ( \frac{1}{2}\times\frac{22}{7}\times7^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times 14\times 7 \right )$

$=77-49=28cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region
$=$ area of small circle $+$ (area of segment BPC $+$ area of segment CQA)
$=38.5+28=66.5$

$\therefore$ Area of the shaded region $=66.5cm^2$

{बड़े वृत्त की त्रिज्या=R=7cm
और छोटे वृत्त की त्रिज्या=r $=\frac{7}{2}cm$

अब, व्यास OD के छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
$=\pi r^2$
$=\frac{22}{7}\times\left ( \frac{7}{2} \right )^2$

$=\frac{22}{7}\times\frac{49}{4}=\frac{77}{2}$
$=38.5cm^2$

और, (वृत्तखंड BPC का क्षेत्रफल $+$ वृत्तखंड CQA का क्षेत्रफल)
$=$ अर्धवृत्त BCA का क्षेत्रफल $-$ त्रिभुज BCA का क्षेत्रफल

$=\left ( \frac{1}{2}\pi R^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times b\times h \right )$

$=\left ( \frac{1}{2}\times\frac{22}{7}\times7^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times 14\times 7 \right )$

$=77-49=28cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $+$ (वृत्तखंड BPC का क्षेत्रफल $+$ वृत्तखंड CQA का क्षेत्रफल)
$=38.5+28=66.5$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=66.5cm^2$ }

OR

Radius of big circle=R=7cm
and radius of small circle=r $=\frac{7}{2}cm$

Now, area of small circle of diameter OD
$=\pi r^2$
$=\frac{22}{7}\times\left ( \frac{7}{2} \right )^2$

$=\frac{22}{7}\times\frac{49}{4}=\frac{77}{2}$
$=38.5cm^2$

Now, area of segment BPC
$=$ area of quadrant OBPC $-$ area of ΔBOC
$=\left ( \frac{1}{4}\pi R^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times b\times h \right )$

$=\left ( \frac{1}{4}\times\frac{22}{7} \times7^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times 7\times 7\right )$

$=\left ( \frac{77}{2}\right )-\left ( \frac{49}{2} \right )=\frac{28}{2}$
$=14cm^2$

Similarly, area of segment CQA $=14cm^2$

$\therefore$ Area of the shaded region
$=$ area of small circle $+$ area of segment BPC $+$ area of segment CQA
$=38.5+14+14=66.5$

$\therefore$ Area of the shaded region $=66.5cm^2$

{बड़े वृत्त की त्रिज्या=R=7cm
और छोटे वृत्त की त्रिज्या=r $=\frac{7}{2}cm$

अब, व्यास OD के छोटे वृत्त का क्षेत्रफल
$=\pi r^2$
$=\frac{22}{7}\times\left ( \frac{7}{2} \right )^2$

$=\frac{22}{7}\times\frac{49}{4}=\frac{77}{2}$
$=38.5cm^2$

अब, वृत्तखंड BPC का क्षेत्रफल
$=$ चतुर्थांश OBPC का क्षेत्रफल $-$ ΔBOC का क्षेत्रफल
$=\left ( \frac{1}{4}\pi R^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times b\times h \right )$

$=\left ( \frac{1}{4}\times\frac{22}{7} \times7^2 \right )-\left ( \frac{1}{2}\times 7\times 7\right )$

$=\left ( \frac{77}{2}\right )-\left ( \frac{49}{2} \right )=\frac{28}{2}$
$=14cm^2$

इसी प्रकार, वृत्तखंड CQA का क्षेत्रफल $=14cm^2$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल
$=$ छोटे वृत्त का क्षेत्रफल $+$ वृत्तखंड BPC का क्षेत्रफल $+$ वृत्तखंड CQA का क्षेत्रफल
$=38.5+14+14=66.5$

$\therefore$ छायांकित भाग का क्षेत्रफल $=66.5cm^2$ }

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Areas related to circles (वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल)