Arithmetic Progressions (समान्तर श्रेढ़ियाँ)

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Q1. Write the first term and common difference of the A.P. -5,-1,3,7…

{समान्तर श्रेणी -5,-1,3,7… के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए|}

year 2020,2012 of 1 marks

Ans. First term (a)= -5
and common difference (d)= $a_{2}-a_{1}$
= (-1) – (-5)
=4

{प्रथम पद (a)= -5
और सार्व अंतर (d)= $a_{2}-a_{1}$
= (-1) – (-5)
=4}

Q2. Write the first term and common difference of the A.P. 3,1,-1,-3…

{समान्तर श्रेणी 3,1,-1,-3… के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए|}

year 2019,2013 of 1 marks

Ans. First term (a)= 3
and common difference (d)= $a_{2}-a_{1}$
= 1-3
=-2

{प्रथम पद (a)= 3
और सार्व अंतर (d)= $a_{2}-a_{1}$
= 1-3
=-2}

Q3. Write the first term and common difference of the A.P. $\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-3}{2}...$

{समान्तर श्रेणी $\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{-1}{2},\frac{-3}{2}...$ के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए|}

year 2018,2010 of 1 marks

Ans. First term (a)= $\frac{3}{2}$
And common difference (d)= $a_{2}-a_{1}$
= $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$
= -1

{प्रथम पद (a)= $\frac{3}{2}$
और सार्व अंतर (d)= $a_{2}-a_{1}$
= $\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$
= -1}

Q4. Write the first term and common difference of the A.P. 4,10,16,22…

{समान्तर श्रेणी 4,10,16,22… के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए|}

year 2017,2014,2009 of 1 marks

Ans. First term (a)= 4
And common difference (d)= $a_{2}-a_{1}$
= 10 – 4
= 6

{प्रथम पद (a)= 4
और सार्व अंतर (d)= $a_{2}-a_{1}$
= 10 – 4
= 6}

Q5. Write the first term and common difference of the A.P. $\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{13}{3}...$

{समान्तर श्रेणी $\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{9}{3},\frac{13}{3}...$ के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए|}

year 2016,2011 of 1 marks

Ans. First term (a)= $\frac{1}{3}$
And common difference (d)= $a_{2}-a_{1}$
= $\frac{5}{3}-\frac{1}{3}$

= $\frac{4}{3}$

{प्रथम पद (a)= $\frac{1}{3}$
और सार्व अंतर (d)= $a_{2}-a_{1}$
= $\frac{5}{3}-\frac{1}{3}$

= $\frac{4}{3}$ }

Q6. Write the first term and common difference of the A.P. 1,-1,-3,-5…

{समान्तर श्रेणी 1,-1,-3,-5… के लिए प्रथम पद तथा सार्व अंतर लिखिए|}

year 2015 of 1 marks

Ans. First term (a)=1
And common difference (d)= $a_{2}-a_{1}$
= (-1) – 1
=-2

{प्रथम पद (a)=1
और सार्व अंतर (d)= $a_{2}-a_{1}$
= (-1) – 1
=-2}

Q7. Find the sum of the first 1000 positive integers.

{प्रथम 1000 धन पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए|}

year 2020 of 3 marks

Ans. Let $S_{1000}$ =1+2+3+…+1000

Using the formula $S_{n} =\frac{n}{2}(a+l)$

$\Rightarrow S_{1000} =\frac{1000}{2}(1+1000)$
= 500 × 1001
= 500500

∴ the sum of the first 1000 positive integers is 500500

{माना की $S_{1000}$ =1+2+3+…+1000

सूत्र $S_{n} =\frac{n}{2}(a+l)$ से

$\Rightarrow S_{1000} =\frac{1000}{2}(1+1000)$
= 500 × 1001
= 500500

∴ अतः प्रथम 1000 पदों का योगफल 500500 है|}

Q8. Find the number of terms in the A.P. 7,13,19,…,205

{A.P. 7,13,19,…,205 में कितने पद है ?}

year 2019 of 3 marks

Ans. A.P. 7,13,19,…,205

$l$ =205
First term (a)=7
Common difference (d)= $a_{2}-a_{1}$
=13-7=6

Using formula $l$ =a+(n-1)d
$\Rightarrow$ 205 = 7 + (n – 1) × 6
$\Rightarrow$ 205 – 7 = (n – 1 ) × 6
$\Rightarrow$ n – 1 = $\frac{198}{6}$
$\Rightarrow$ n = 33 + 1 = 34

∴ Total number of terms = 34

{A.P. 7,13,19,…,205

$l$ =205
प्रथम पद (a)=7
सार्व अंतर (d)= $a_{2}-a_{1}$ =13-7=6

सूत्र $l$ = a+(n-1)d से
$\Rightarrow$ 205 = 7 + (n – 1) × 6
$\Rightarrow$ 205 – 7 = (n – 1 ) × 6
$\Rightarrow$ n – 1 = $\frac{198}{6}$
$\Rightarrow$ n = 33 + 1 = 34

∴ अतः दिए गए A.P. में 34 पद हैं|}

Q9. In an A.P. , a = 7 and $a_{13}=35$ are given. Find d and $S_{n}$

{एक A.P. में a = 7 और $a_{13}=35$ दिया है| d और $S_{n}$ ज्ञात कीजिये|}

year 2019,2009 of 3 marks

Ans. First term (a) = 7 , $a_{13}=35$

Using formula $a_{n}$ = a+(n-1)d
$a_{13}=7+(13-1)d$
$\Rightarrow$ 35 = 7 + (13 – 1)d
$\Rightarrow$ d = $\frac{28}{12}$ = $\frac{7}{3}$

Now, using the formula $S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$

$\Rightarrow S_{13}=\frac{13}{2}(7+35)=273$

∴ d = $\frac{7}{3}$ and $S_{13}$ =273

{प्रथम पद (a) =7 , $a_{13}=35$

सूत्र $a_{n}$ = a+(n-1)d से
$a_{13}=7+(13-1)d$
$\Rightarrow$ 35 = 7 + (13 – 1)d
$\Rightarrow$ d = $\frac{28}{12}$ = $\frac{7}{3}$

अब, सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$ से

$\Rightarrow S_{13}=\frac{13}{2}(7+35)=273$

∴ d = $\frac{7}{3}$ और $S_{13}$ =273}

Q10. The first term of an A.P. is 5, the last term is 45 and the sum is 400. Find the number of terms and the common difference.

{किसी A.P. का प्रथम पद 5 , अंतिम पद 45 और योग 400 है| पदों की संख्या और सार्व अंतर ज्ञात कीजिये|}

year 2018,2010 of 3 marks

Ans. First term (a)=5
last term $l$ =45
Sum( $S_{n}$ )=400

Let number of term is ‘n’ and common difference is ‘d’.

Using the formula $S_{n} =\frac{n}{2}(a+l)$
$\Rightarrow 400=\frac{n}{2}(5+45)$

$\Rightarrow 400=\frac{50n}{2}$ = 25n

$\Rightarrow n=\frac{400}{25}=16$

Now using the formula,
$l$ = a + (n – 1)d
$\Rightarrow$ 45 = 5 + (16 – 1)d
$\Rightarrow$ 45 = 5 + 15d
$\Rightarrow$ d = $\frac{40}{15}$ = $\frac{8}{3}$

∴ Number of term=16 and common difference = $\frac{8}{3}$

{प्रथम पद (a)=5
अंतिम पद $l$ =45
योग( $S_{n}$ )=400

माना की पदों की संख्या ‘n’ है और सार्व अंतर ‘d’ है

सूत्र $S_{n} =\frac{n}{2}(a+l)$ से

$\Rightarrow 400=\frac{n}{2}(5+45)$

$\Rightarrow 400=\frac{50n}{2}$ = 25n

$\Rightarrow n=\frac{400}{25}=16$

अब, सूत्र $l$ = a + (n – 1)d से
$\Rightarrow$ 45 = 5 + (16 – 1)d
$\Rightarrow$ 45 = 5 + 15d
$\Rightarrow$ d = $\frac{40}{15}$ = $\frac{8}{3}$

∴ पदों की संख्या=16 और सार्व अंतर = $\frac{8}{3}$ }

Q11. In an A.P. give a = 5 , d = 3 and $a_{n}$ = 50. Find n and $S_{n}$

{एक A.P. में a = 5 , d = 3 और $a_{n}$ = 50 दिया है| n और $S_{n}$ ज्ञात कीजिये|}

year 2017,2013 of 3 marks

Ans. First term (a)=5,
Common difference (d) =3 and
$a_{n}$ =50

Using formula $a_{n}$ = a+(n-1)d
$\Rightarrow$ 50 = 5 + (n – 1)3
$\Rightarrow$ 45 = (n – 1)3
$\Rightarrow$ n-1=15
$\Rightarrow$ n = 16

Now, using the formula $S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$

$S_{16}=\frac{16}{2}(5+50)$
$\Rightarrow S_{16}=8\times55$
$\Rightarrow S_{16}=440$

∴ n = 16 and $S_{16}$ = 440

{प्रथम पद (a)=5,
सार्व अंतर (d)=3 और
$a_{n}$ =50

सूत्र $a_{n}$ = a+(n-1)d से
$\Rightarrow$ 50 = 5 + (n – 1)3
$\Rightarrow$ 45 = (n – 1)3
$\Rightarrow$ n-1=15
$\Rightarrow$ n = 16

अब, सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$ से

$S_{16}=\frac{16}{2}(5+50)$
$\Rightarrow S_{16}=8\times55$
$\Rightarrow S_{16}=440$

∴ n = 16 और $S_{16}$ = 440}

Q12. Find the sum of first 51 terms of an A.P. whose second and third terms are 14 and 18 respectively.

{उस A.P. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिये, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 हैं|}

year 2016,2011 of 3 marks

Ans. Third term ( $a_{3}$ )=18
and second term ( $a_{2}$ ) = 14

∴ $d=a_{3}-a_{2}$
$\Rightarrow$ d = 18 – 14 = 4

Let first term be “a”
Now, $d=a_{2}-a$
$\Rightarrow a=a_{2}-d$
$\Rightarrow a=14-4=10$

Now, Using the formula

$S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

$\Rightarrow S_{51}$ $=\frac{51}{2}[2\times10+(51-1)4]$

$\Rightarrow S_{51}=\frac{51}{2}[20+(50\times4)]$

$\Rightarrow S_{51}=\frac{51}{2}\times220=5610$

∴ $S_{51}$ = 5610

{तीसरा पद ( $a_{3}$ ) = 18
और दूसरा पद ( $a_{2}$ ) = 14

∴ $d=a_{3}-a_{2}$
$\Rightarrow$ d = 18 – 14 = 4

माना की प्रथम पद “a” हैं|
अब, $d=a_{2}-a$
$\Rightarrow a=a_{2}-d$
$\Rightarrow a=14-4=10$

अब, सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$ से

$\Rightarrow S_{51}$ $=\frac{51}{2}[2\times10+(51-1)4]$

$\Rightarrow S_{51}=\frac{51}{2}[20+(50\times4)]$

$\Rightarrow S_{51}=\frac{51}{2}\times220=5610$

∴ $S_{51}$ = 5610}

Q13. The first and last term of an A.P. are 17 and 350 respectively. If the common difference is 9. How many terms are there and what is their sum?

{किसी A.P. के प्रथम और अंतिम पद क्रमशः 17 और 350 है| यदि सार्व अंतर 9 है तो इनमे कितने पद है और इनका योग क्या होगा?}

year 2015 of 3 marks

Ans. First term (a) =17,
Common difference (d) =9
and $l$ =350

Using formula $l$ = a+(n-1)d
$\Rightarrow$ 350=17+(n-1)9
$\Rightarrow (n-1)=\frac{350-17}{9}$
$\Rightarrow (n-1)=37$
$\Rightarrow$ n = 38

Now, using the formula $S_{n} =\frac{n}{2}(a+l)$

$\Rightarrow S_{38}=\frac{38}{2}(17+350)=6973$

∴ n =38 and $S_{38}$ = 6973

{प्रथम पद (a)=17,
सार्व अंतर (d)=9 और
$l$ =350

सूत्र $l$ = a+(n-1)d से
$\Rightarrow$ 350 = 17 + (n – 1)9
$\Rightarrow (n-1)=\frac{350-17}{9}$
$\Rightarrow (n-1)=37$
$\Rightarrow$ n = 38

अब, सूत्र $S_{n} =\frac{n}{2}(a+l)$ से

$\Rightarrow S_{38}=\frac{38}{2}(17+350)=6973$

∴ n =38 and $S_{38}$ = 6973}

Q14. In A.P. , the common difference is 7 and 22th term is 149. Find the sum of first 22 terms of A.P.

{A.P. के प्रथम 22 पदों का योगफल ज्ञात कीजिये , जिसका सार्व अंतर 7 तथा 22 वां पद 149 है|}

year 2012 of 3 marks

Ans. $a_{_{22}}$ = 149 , d = 7

Using formula $a_{n}$ = a+(n-1)d
$a_{22}=a+(22-1)7$
$\Rightarrow$ 149 = a + (22 – 1)7
$\Rightarrow$ a=149-147
$\Rightarrow$ a = 2

Now, using the formula
$S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$

$\Rightarrow S_{22}=\frac{22}{2}(2+149)$

$\Rightarrow S_{22}=\frac{22}{2}\times151=1661$

$\therefore S_{22}=1661$

{ $a_{_{22}}$ = 149 , d = 7

सूत्र $a_{n}$ = a+(n-1)d से
$a_{22}=a+(22-1)7$
$\Rightarrow$ 149 = a + (22 – 1)7
$\Rightarrow$ a=149-147
$\Rightarrow$ a = 2

अब, सूत्र $S_{n}=\frac{n}{2}(a+a_{n})$ से

$\Rightarrow S_{22}=\frac{22}{2}(2+149)$

$\Rightarrow S_{22}=\frac{22}{2}\times151=1661$

$\therefore S_{22}=1661$ }

Q15. Find the A.P. whose third term is 16 and the 7th term exceeds the 5th term by 12.

{वह समांतर श्रेणी ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7वाँ पद 5वें पद से 12 अधिक है।}

year 2020 of 3 marks

Ans. Let first term of A.P. be a,
common difference be d.

Given:- $a_7-a_5=12\; ...(i)$
and $a_3=16\; ...(ii)$

Now, $a_7-a_5=12$
$\Rightarrow [a+(7-1)d]-[a+(5-1)d]=12$
$\Rightarrow a+6d-a-4d=12$
$\Rightarrow 2d=12$
$\Rightarrow d=6$

Now, in equation 2
$a_3=16$
$\Rightarrow a+(3-1)6=16$
$\Rightarrow a+12=16$
$\Rightarrow a=16-12=4$

$\therefore$ A.P.= a, a+d, a+2d, a+3d, …
$=$ 4, 4+6, 4+12, 4+18, ….
$=$ 4, 10, 16, 22, …

{माना A.P. का प्रथम पद a,
सामान्य अंतर d हैं|

दिया हुआ है:- $a_7-a_5=12\; ...(i)$
तथा $a_3=16\; ...(ii)$

अब, $a_7-a_5=12$
$\Rightarrow [a+(7-1)d]-[a+(5-1)d]=12$
$\Rightarrow a+6d-a-4d=12$
$\Rightarrow 2d=12$
$\Rightarrow d=6$

अब, समीकरण 2 में
$a_3=16$
$\Rightarrow a+(3-1)6=16$
$\Rightarrow a+12=16$
$\Rightarrow a=16-12=4$

$\therefore$ A.P.= a, a+d, a+2d, a+3d, …
$=$ 4, 4+6, 4+12, 4+18, ….
$=$ 4, 10, 16, 22, … }

Q16. If the $n^{th}$ term of an A.P. is 3+4n, then find the first term, common difference and the sum of first 15 terms.

{यदि किसी समांतर श्रेणी का n वाँ पद 3+4n है, तो प्रथम पद, सार्व अंतर और प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए|}

year 2014 of 3 marks

Ans. $a_n=3+4n$

$a_1=3+(4\times1)=7$

$a_2=3+(4\times2)=11$

$a_3=3+(4\times3)=15$

$a_1$ =first term=7
d=common difference=11-7=4

Now, $S_{n}=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$

$S_{15}=\frac{15}{2}[(2\times7)+{(15-1)}4]$

$=\frac{15}{2}[14+(14 \times 4)]$

$=\frac{15}{2}[14+56]$

$=\frac{15}{2}\times70=525$

$\therefore$ 1st=7, d= 4 and $S_{15}=525$

{ $a_n=3+4n$

$a_1=3+(4\times1)=7$

$a_2=3+(4\times2)=11$

$a_3=3+(4\times3)=15$

$a_1$ =प्रथम पद=7
d=सामान्य अंतर=11-7=4

अब, $S_{n}=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$

$S_{15}=\frac{15}{2}[(2\times7)+{(15-1)}4]$

$=\frac{15}{2}[14+(14 \times 4)]$

$=\frac{15}{2}[14+56]$

$=\frac{15}{2}\times70=525$

$\therefore$ 1st=7, d=4 और $S_{15}=525$ }

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Arithmetic Progressions (समान्तर श्रेढ़ियाँ)